Matrículas sin repetición

Question

Si no hay restricciones en la colocación de los dígitos y las letras. ¿Cuántos $8$ -plaza de matrícula compuesta por $5$ cartas y $3$ los dígitos son posibles si no se permiten repreciones de letras o dígitos ?

Naturalmente, escribo

$26*25*24*23*22*10*9*8$

Este es el recuento si queremos que estén en orden. Como no hay restricciones podemos permutarlas como queramos y eso da 8!. Así que la respuesta debería ser el producto de los números. Sin embargo, la clave de respuestas dice que la respuesta correcta es

$$ {26 \choose 5} {10 \choose 3} 8! $$

Creo que se trata de una errata, ya que las repeticiones no están permitidas

Answer 1

Si no hay repeticiones de letras entonces tenemos $\dbinom{26}{5}$ formas.

Si no hay repeticiones de dígitos entonces tenemos $\dbinom{10}{3}$ formas.

Si no se permiten repeticiones de letras o dígitos, entonces tenemos $$\dbinom{10}{3}\dbinom{26}{5}\cdot8!\mbox{ ways}$$

Answer 2

Como señala Dominik Kutek en los comentarios, el número $26\cdot25\cdot24\cdot23\cdot22\cdot10\cdot9\cdot8$ da el número de formas de elegir 5 letras distintas y 3 dígitos distintos, donde el orden importa entre las letras y entre los dígitos. Por ejemplo, este número cuenta con la elección de ABCDE y 123 a diferencia de EDCBA y 321. Como no hay restricciones sobre dónde pueden aparecer las letras y los dígitos en la cadena de ocho símbolos, debemos multiplicar por el número de configuraciones de 5 letras y 3 dígitos. Entre las ocho posiciones, debemos elegir cinco posiciones para las letras, y las restantes para los dígitos. Hay ${8\choose 5}$ maneras de hacerlo, así que la respuesta es $26\cdot25\cdot24\cdot23\cdot22\cdot10\cdot9\cdot8 \cdot {8\choose 5}$ . Observa que esta respuesta coincide con la clave de respuestas: $$(26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22) (10 \cdot 9 \cdot 8) {8\choose 5} \\ = \left( \frac{26!}{21!} \right) \left(\frac{10!}{7!}\right) \left(\frac{8!}{5! 3!}\right) \\ = {26 \choose 5}5! {10 \choose 3}3! \left(\frac{8!}{5! 3!}\right) \\ = {26 \choose 5} {10 \choose 3} 8! $$

Answer 3

La clave de la respuesta es correcta. El primer factor es el número de formas de elegir cinco letras distintas de $26$ . El segundo factor cuenta las opciones de dígitos. El factorial cuenta arreglos.