Aquí sólo consideraremos la aproximación semiclásica principal de un $1$ -con el Hamiltoniano
$$ H(x,p) ~=~ \frac{p^2}{2m} + \Phi(x), $$
donde $\Phi(x)<0$ es la función potencial. Para simplificar, supongamos que el potencial $\Phi(x)=\Phi(-x)$ es una función par y fuertemente creciente para $x\geq 0$ con límite $\lim_{|x|\to \infty}\Phi(x)=0$ . Sea $E_n<0$ denotan la energía del $n$ 'th bound state, ordenado cada vez más $E_1 <E_2<E_3<\ldots$ para que $E_1$ denota la energía del estado básico. También existe un espectro continuo positivo no limitado $E\geq0$ que no discutiremos más.
Construiremos aquí un contraejemplo de dos potenciales $\Phi^{\prime}(x)$ y $\Phi^{\prime\prime}(x)$ tal que el cociente de potenciales satisface el límite $$ \lim_{|x|\to \infty} \frac{\Phi^{\prime\prime}(x)}{\Phi^{\prime}(x)} ~=~1, \qquad (1)$$ pero donde el correspondiente cociente de energías del estado ligado satisface $$ \lim_{n\to \infty} \frac{E_n^{\prime\prime}}{E_n^{\prime}} ~\neq~1. \qquad (2)$$
La idea es buscar un potencial $\Phi$ que generaría un espectro de estado ligado de la forma
$$E_n= -R e^{-\mu n},\qquad (3)$$
donde $R>0$ es una constante de dimensión energética tipo Rydberg, y $\mu>0$ es una constante positiva adimensional. [El átomo de hidrógeno es para comparar $E_n= -R/n^2$ .] Así, el número de estados $N(E)$ por debajo del nivel de energía $E$ debería satisfacer aproximadamente
$$E~\approx~ -R e^{-\mu N(E)} \qquad \Leftrightarrow \qquad N(E)~\approx~\frac{1}{\mu}\ln(-\frac{E}{R}). $$
Este respuesta proporciona una fórmula de inversión semiclásica para el potencial $\Phi$ que utilizaremos. La longitud $\ell(V)$ de la región clásicamente accesible del pozo de potencial en el nivel de energía potencial $V$ se convierte en
$$ 2\Phi^{-1}(V)~=~\ell(V) ~\approx ~\hbar\sqrt{\frac{2}{m}} \frac{d}{dV}\int_{V_{0}}^V \frac{N(E)~dE}{\sqrt{V-E}} $$ $$~\approx~\frac{\hbar}{\mu}\sqrt{\frac{2}{m}} \left(\frac{2\arctan\sqrt{\frac{V_0}{V}-1}}{\sqrt{-V}} - \frac{\ln(-\frac{V_0}{R})}{\sqrt{V-V_0}}\right). \qquad (4) $$
Se puede comprobar que la función de longitud accesible $\ell(V)$ es una función monotónicamente creciente para $V\in[V_1,0[$ para alguna elección de las constantes $V_0$ y $V_1$ con $V_0<V_1<0$ . Asintóticamente, este potencial $\Phi(x)$ se comporta como un potencial cuadrado inverso $-C/x^2$ para $|x|\to\infty$ , donde $C>0$ es una constante positiva.
Ahora construimos las funciones potenciales $\Phi^{\prime}(x)$ y $\Phi^{\prime\prime}(x)$ tales que vienen dados por la fórmula (4) en la región exterior $x\geq x_1$ , donde $x_1:=\ell(V_1)/2>0$ y que aumenta arbitrariamente de forma monótona en la región interior $0\leq x\leq x_1$ . Esto implica que el cociente de potenciales satisface
$$ \frac{\Phi^{\prime\prime}(x)}{\Phi^{\prime}(x)} ~=~1 \qquad {\rm for}\qquad |x|\geq x_1, $$
para que se cumpla la condición (1).
Para estados suficientemente grandes $n\geq n_1$ después de llenar el pozo de potencial interno, el espectro $E_n$ finalmente se vuelve exponencialmente a la (3). Ahora elegimos los potenciales internos $\Phi^{\prime}(x)$ y $\Phi^{\prime\prime}(x)$ de tal manera que cabe un estado ligado más en el perfil $\Phi^{\prime\prime}(x)$ que $\Phi^{\prime}(x)$ para $|x|\leq x_1$ . Entonces el etiquetado de los estados $E_{n+1}^{\prime\prime}\approx E_n^{\prime}$ se desviaría en uno para $n\geq n_1$ , dando lugar a la desigualdad (2),
$$ \frac{E_n^{\prime\prime}}{E_n^{\prime}} ~\approx~e^{\mu} ~\neq~1. \qquad {\rm for}\qquad n\geq n_1.$$
