Reiteró adjunto functors

Question

Deje $F_0 : C \to D$ ser un functor. Si existe, le $G_0 : D \to C$ ser su izquierda adjunto. Si existe, le $F_1 : C \to D$ ser su izquierda adjunto. Y así sucesivamente. En situaciones donde la infinita secuencia $(F_0, G_0, F_1, G_1, ...)$ existe, cuando es periódico? Aperiódica? (Siéntase libre de reemplazar todos los "de izquierdas" por "derechos", por supuesto).

Answer 1

http://www.springerlink.com/content/pmj5074147116273/ considera las secuencias de adjoint functors igual que usted describe.

Answer 2

Un ejemplo simple donde hay adjoint cadenas de longitud arbitraria dada por el simplex categoría, o más bien el simplex 2-categoría, la sub-2-categoría de Gato cuyos objetos son finitos ordinales (por lo que el 1-las células o los functors son el fin de la preservación de los mapas, y el 2-células o transformaciones son instancias de la orden de la relación f ≤ g). Observe que el functor 0: [1] --> [2] = {0, 1} queda adjunto a la única functor !: [2] --> [1] que queda adjunto a la functor 1: [1] --> [2] = {0, 1}.

El uso de este y la estructura monoidal, usted puede generar adjunto cadenas de longitud arbitraria que en zig-zag entre los cofaces i_k: [n] --> [n+1] y codegeneracies p_k: [n+1] --> [n]. Específicamente, si i_0 < i_1 < ... < i_n nombre del tipo n+1, inyecciones [n] --> [n+1] y p_1 < ... < p_n nombre de la n surjections [n+1] --> [n], entonces existe un adjunto cadena de la forma

$i_0 \dashv p_1 \dashv i_1 \dashv \ldots \dashv p_n \dashv i_n$

y claramente hay ninguna periodicidad aquí.

Answer 3

En general, todos los functors podría ser nonisomorphic. La forma en que sé cómo probar esto es considerar la libre monoidal (no simétrica) categoría con la izquierda y la derecha duales en un único objeto x₀, y muestran que no hay mapas entre la x_me diferenciadas yo, y así los functors x_i ⊗ – (que forman una cadena) son definitivamente diferentes.

Yo creo que hay algunas situaciones naturales sin embargo, donde la secuencia es de 4 periódico. Una que creo que es cierto es que cuando usted está en un 3-categoría y todos los de su unidad y counit 2-morfismos mismos han adjoints. Esto debe ser verdadero y la raíz de la razón es que al tomar el doble a la izquierda adjunto se corresponde con el generador de $\pi_1(O(2)) = \mathbb{Z}$, pero el doble que el generador es asesinado en $\pi_1(O(3)) = \mathbb{Z}/2$. Pero hasta ahora no he logrado convertir esto en una prueba directa usando los axiomas de un 3-categoría con adjoints.