Problema 2. Un curso completo de Análisis. Barry Simon. Página 239.

Question

Definición (Conjunto Baire) Sea X un espacio compacto de Hausdorff. Los conjuntos Baire son los más pequeños $\sigma$ -que contiene todos los compactos $G_{\delta}$ 's.

Definición (Partición) Dado un álgebra , $\mathcal{U}$ una partición asociada a $\mathcal{U}$ es un subconjunto finito $\mathcal{P}\subset \mathcal{U}$ para que

(i) Todos los conjuntos en $\mathcal{P}$ son no vacíos

(ii) $P_1,\ P_2\in\mathcal{P}\Rightarrow P_1\cap P_2=\emptyset$

(iii) $\bigcup_{P\in\mathcal{P}}P=X$

Dada una función continua cualquiera $f$ en un espacio compacto de Hausdorff y cualquier $\epsilon>0$ , encontrar una partición de Baire $\left\{P_j\right\}_{j=1}^{n}$ para que $\sup_{x,y\in P_j} |f(x)-f(y)|<\epsilon$ . Pista: Primero encontrar una cubierta abierta por conjuntos de Baire, $\left\{U_l\right\}_{l=1}^{n}$ de manera que para cada $l,\ \sup_{x,y\in P_j}|f(x)-f(y)|<\epsilon.$

No sé cómo hacer este problema. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Usando la pista, nuestro plan es encontrar primero una cubierta abierta finita, seguida de una compacta finita $G_\delta$ y finalmente una partición de Baire.

Dejemos que $\varepsilon > 0$ y $x \in X$ . Por continuidad de $f$ podemos encontrar un $U_x$ que contiene $x$ tal que para todo $u \in U_x$ tenemos $$|f(x) - f(u)| < \frac{\varepsilon}{4}$$ Esto implica para todos $y, z \in U_x$ obtenemos $$\begin{align} |f(y) - f(z)| &\le |f(y) - f(x)| + |f(x) - f(z)| \\ &< \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{4} \\ &= \frac{\varepsilon}{2} \end{align}$$ Por la propiedad de preservación del orden del supremum, obtenemos $$\sup_{y, z \in U_x} |f(y) - f(z)| \le \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$$ A continuación, ya que $X$ es localmente compacto Hausdorff, podemos elegir una vecindad compacta $K_x$ y abrir $V_x$ tal que $$x \in V_x \subseteq K_x \subseteq U_x$$ Ahora por lema 3 de esta pregunta (¡por favor, compruébelo!), podemos elegir un compacto $G_\delta$ set $G_x$ tal que $$x \in V_x \subseteq K_x \subseteq G_x \subseteq U_x$$ Observe que $\{V_x\}_{x \in X}$ es una tapa abierta para $X$ . Por la compacidad de $X$ existe una subcubierta finita $\{V_{x_1}, \dots, V_{x_n}\}$ . Dado que cada $V_{x_j} \subseteq G_{x_j}$ , $\{G_{x_1}, \dots, G_{x_n}\}$ también es una cubierta finita. Por lo tanto, $\{G_{x_1}, \dots, G_{x_n}\}$ es un compacto finito $G_\delta$ cubierta. Además, como cada $G_{x_j} \subseteq U_{x_j}$ tenemos $$\sup_{y, z \in G_{x_j}} |f(y) - f(z)| < \varepsilon$$ Por último, dejemos que $$\begin{align} \mathcal{P} = \{&B_1 \cap \dots \cap B_n \mid \\ &B_j = G_{x_j} \text{ or } X \setminus G_{x_j} \text{ with } B_1 \cap \dots \cap B_n \neq \emptyset\} \end{align}$$ Podemos ver que $\mathcal{P}$ es una partición de Baire. Fijar $B_1 \cap \dots \cap B_n \in \mathcal{P}$ . Tenemos $B_1 \cap \dots \cap B_n \subseteq G_{x_j}$ para algunos $G_{x_j}$ . Si no, tendríamos $$B_1 \cap \dots \cap B_n = (X \setminus G_{x_1}) \cap \dots \cap (X \setminus G_{x_n}) = \emptyset$$ contradictorio $B_1 \cap \dots \cap B_n$ siendo no vacía. Por lo tanto, $$\begin{align} \sup_{y, z \in B_1 \cap \dots \cap B_n} |f(y) - f(z)| &\le \sup_{y, z \in G_{x_j}} |f(y) - f(z)| \\ &< \varepsilon \end{align}$$ ¡Hecho!