curva plana si y sólo si la torsión

Question

De nuevo tengo una pregunta, es sobre una prueba, si la torsión de una curva es cero, tenemos que

$$ B(s) = v_0,$$

un vector constante (donde $B$ es la binormal), la prueba termina concluyendo que la curva $$ \alpha \left( t \right) $$ es tal que $$ \alpha(t)\cdot v_0 = k $$ y luego el libro dice: "entonces la curva está contenida en un plano ortogonal a $v_0$ ." Es un detalle no tan importante pero .... ese ángulo podría no ser $0$ podría no ser perpendicular a ella, de todos modos, geométricamente lo veo así $ V_0 $ "corta" ese plano con algún ángulo.

Mi pregunta estúpida es por qué esta constante $k$ debe ser $0$ . O simplemente puedo elegir algunos $v_0 $ para conseguir ese " $k$ "?

Answer 1

La constante $k$ no necesita ser $0$ ; ese sería el caso en el que $\alpha$ está en un plano que pasa por el origen. Se tiene $k=\alpha(0)\cdot v_0$ Así que para todos $t$ , $(\alpha(t)-\alpha(0))\cdot v_0=0$ . Esto significa que $\alpha(t)-\alpha(0)$ está en el plano que pasa por el origen perpendicular a $v_0$ Así que $\alpha(t)$ se encuentra en el plano a través de $\alpha(0)$ perpendicular a $v_0$ . (Si $0$ no está en el dominio, entonces $0$ podría sustituirse por cualquier punto del dominio de $\alpha$ .)