Ordenación del contorno en el formalismo de Keldysh

Question

Actualmente estoy trabajando en algunos problemas de transporte utilizando las técnicas de la función de Green de no equilibrio.

Estoy tratando de entender el intgeral ordenado del contorno que el Formalismo Keldysh utiliza para definir las funciones de Green.

Estoy bastante seguro de entender cómo funciona el ordenamiento de los contornos para un solo operador: $$\tilde{T}[e^{i\int_{t_0}^{t}dt'H_{h}'(t')}]O_{h}(t)T[e^{-i\int_{t_0}^{t}dt'H_{h}'(t')}]=T_{C_{t}}[e^{-i\int_{t_0}^{t}dt'H_{h}'(t')}O_{h}(t)]$$ donde $\tilde{T}$ es el operador de ordenación antitemporal, $T$ es el operador de ordenación del tiempo y $T_{C_{t}}$ es el operador de ordenación de contornos que se define como la colocación de operadores en tiempos que vienen más tarde en el conour $C_{t}$ que se deja a la de los operadores en los tiempos que corren.

Ahora, la forma en que lo entiendo es que el contorno $C_{t}$ sólo proporciona una camino para ordenar los operadores de manera que los términos en el S.H. y en el S.H. sean iguales. No es que estemos integrando en el plano complejo sobre el contorno mismo .

Normalmente, $t_0\rightarrow -\infty$ .

Pasando a dos operadores en tiempos diferentes, llegamos a la definición de la función de Green dada aquí :

$$G_{ij}(t,t')=\frac{\langle \Psi_{H}|T_{C_{t,t'}}[c_i(t)c^{\dagger}_{j}(t')]|\Psi_{H}\rangle}{\langle \Psi_{H}|\Psi_{H}\rangle}$$

Lo que no entiendo es cómo podría esto dar lugar a las cuatro funciones de Green diferentes, $G^{++}, G^{-+}, G^{+-}, G^{--}$ que se indica en la referencia. A mi entender, lo que realmente medimos en otros lugares, el valor de la expectativa - $\langle \Psi_{H}|T[c_{iH}(t)c^{\dagger}_{jH}(t')]|\Psi_{H}\rangle$ al reducir los dos operadores a la imagen de la interacción, dará dos contornos separados para los dos operadores.

Evidentemente, no entiendo la motivación de hacer cuatro cosas a partir de una entidad.Así que, por último, mi pregunta es ¿qué está pasando cuando estoy definiendo la función de Green? ¿Cómo estoy obteniendo cuatro posibilidades distintas o más bien por qué estoy utilizando cuatro entidades diferentes?

Answer 1

El valor de la expectativa en la pregunta, $$\langle\Psi_{H}|T[c_{iH}c_{jH}^{\dagger}]||\Psi_{H}\rangle$$ es en realidad la función causal de Green $G^{--}_{ij}$ .

Supongamos el hamiltoniano: $H=h+H'(t)$

Después de transformar los operadores a la imagen de interacción y hacer algo de gimnasia, $G^{--}_{ij}$ puede escribirse eligiendo el tiempo de referencia en $t_0=-\infty$ como: $$G^{--}(1,2)=\langle U_{I}(-\infty,+\infty)U_{I}(\infty, t_1)c_{iI}(t_1)U_{I}(t_1,t_2)c_{jI}^{\dagger}(t_2)U_{I}(t_2,-\infty)\rangle\theta(t_1-t_2)-\langle U_{I}(-\infty,+\infty)U_{I}(\infty, t_2)c^{\dagger}_{jI}(t_2)U_{I}(t_2,t_1)c_{iI}(t_1)U_{I}(t_1,-\infty)\rangle\theta(t_2-t_1)$$

He omitido el sujetador y el ket porque la media también podría llevarse sobre un conjunto.

La entidad definida anteriormente puede representarse convenientemente mediante la expresión $$G^{--}(1,2)=\langle T_{C}[e^{-i\int_{C}H_{I}'(\tau)d\tau}c_{iI}(t_1)c_{jI}^{\dagger}(t_2)]\rangle$$

Como en la pregunta, el ordenamiento del contorno reordena los operadores de manera que los tiempos que vienen más tarde en el contorno están a la izquierda de los tiempos que vienen antes.

En la imagen que se muestra aquí, suponemos que $t_1 >t_2$ El punto principal es que las dos variables de tiempo ocurren en la rama superior (representada por $(-)$ ) del contorno, y la ordenación del contorno actúa sobre ellos como un simple ordenamiento del tiempo operador.

Una forma de demostrarlo sería observando que $\int_{C}$ se puede dividir en cuatro partes y luego expandir la exponencial.

De la misma manera, $G^{++}$ es la función de Green anticausal con la definición habitual utilizando el operador de ordenación antitemporal.

Se puede construir un contorno similar para este caso, excepto que ahora, a diferencia del caso anterior, los dos tiempos de los operadores tendrían que situarse en la rama inferior $(+)$ de un contorno que se vería así:

Hemos asumido aquí que $t_2>t_1$ . En este caso, la ordenación del contorno actúa como un operador de ordenación antitemporal en la rama inferior.

Del mismo modo, el menor $(G^{-+})$ y el mayor $(G^{+-})$ Las funciones de Green se definen utilizando un contorno similar con diferentes colocaciones de los operadores en las dos ramas, como indican sus índices.

Este es una revisión exhaustiva de todo el asunto.