Dejemos que $A$ ser un $m \times n$ matriz real y $b \in \Bbb R^m$ con $b \neq 0$ . Entonces

Question

1. El conjunto de todas las soluciones reales de $Ax=b$ es un espacio vectorial.

2. Si $u$ y $v$ son dos soluciones de $Ax=b$ entonces $\lambda u+ (1-\lambda)v$ también es una solución de $Ax=b$ $\forall \lambda \in \Bbb R$ .

3. Para dos soluciones cualesquiera $u$ y $v$ de $Ax=b$ la combinación lineal $\lambda u+(1-\lambda)v$ también es una solución de $Ax=b$ sólo cuando $0 \le \lambda \le 1$

4. Si el rango de $A$ es $n$ entonces $Ax=b$ tiene como máximo una solución.

La opción 2 es correcta porque $A(\lambda u +(1-\lambda)v)=\lambda Au+ Av -\lambda Av=b$ . Por lo tanto, la opción 3 es falsa.

La opción 1 parece ser incorrecta porque $x \neq 0$ por hipótesis.

¿Cómo puedo comprobar si la opción 4 es cierta o no?

¿Estoy en lo cierto hasta ahora?

Answer 1

Lo que has hecho es correcto. Para la opción $4$ :

Desde $\operatorname{Rank} A=n\implies \operatorname{Nullity} A=0$ por el Teorema de Rango-Nulidad.

Por lo tanto, $Ax=0$ sólo tiene solución como $x=0$ Por lo tanto, si $Ax=b$ tiene una solución, entonces es única.