Integral $\int_{-1}^{1} \frac{x}{1-x^2} \,dx$

Question

Dada la integral
$$\int_{-1}^{1} \frac{x}{1-x^2} \,dx$$

Las calculadoras en línea dicen que debería ser $0$ pero me sigue saliendo como indefinido como será su integral $\ln(1-x^2)$ que será $\ln(0)$ que es indefinido. ¿Cómo puedo calcularlo manualmente?

Answer 1

$\newcommand{\d}{\,\mathrm{d}}$ La integral debe entenderse como una integral de Riemann impropia, aunque la antiderivada, $-\frac{1}{2}\ln(1-x^2)$ es indefinido en $1,-1$ se define en todos los lugares cercanos a estos puntos - fix $\epsilon\gt0,\delta\gt0$ y considerar en su lugar $1-\epsilon,-1+\delta$ , y al empujar $\epsilon,\delta$ cada vez más pequeño, te acercarás al valor de la integral, si es que existe. Puedes pensar en esto como una integral definida en el intervalo abierto $(-1,1)$ en lugar de la cerrada, $[-1,1]$ . Es importante señalar que el límite debe ser el mismo independientemente de cómo se empuje $\delta,\epsilon\to0$ Si obtienes respuestas diferentes al acercarte a $(-1,1)$ a diferentes velocidades, entonces la integral no es convergente.

Dicho esto, vamos a calcular esto:

$$\begin{align}\int_{-1+\delta}^{1-\epsilon}\frac{x}{1-x^2}\d x&=\left[-\frac{1}{2}\ln(1-x^2)\right]_{-1+\delta}^{1-\epsilon}\\&=-\frac{1}{2}[\ln(1-(1-\epsilon)^2)-\ln(1-(-1+\delta)^2)]\\&=-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{2\epsilon-\epsilon^2}{2\delta-\delta^2}\right)\end{align}$$

Por desgracia, vemos que si $\delta\to0$ más rápido que $\epsilon$ lo hace, la integral diverge. Por tanto, clásicamente la integral no existe. Lo que informan las calculadoras en línea es algo llamado " valor principal " - aquí es donde dejamos que $\delta,\epsilon\to0$ a la misma velocidad. Notarás que eso resulta en $\ln(1)=0$ por lo que informan $0$ . La función también es impar, por lo que es lógico que si nos acercamos a los puntos finales a la misma velocidad en un intervalo simétrico, integraremos a cero. Wolfram afirma correctamente que la integral no converge, y nombra $0$ como valor principal, por lo que tal vez las calculadoras en línea que estabas utilizando eran de nivel inferior.