Motivación: Un número real es racional si su expansión decimal es periódica (por "periódica" quiero decir periódica después de algunos pasos). Del mismo modo, un número p-ádico es racional si su expansión p-ádica es periódica. Sin embargo, esto no es cierto en general para las funciones racionales como el ejemplo $$\frac{1}{(1-X)^2}= \sum_{n=0}^\infty (n+1)X^n \in \mathbb{Q}(X)\subseteq \mathbb{Q}((X))$$ espectáculos. Pero una inspección de la prueba en el caso p-ádico (cf. Hasse: Number Theory, Chap. 9) muestra:
Si $F$ es un campo finito, entonces $f \in F((X))$ es racional, es decir $f \in F(X)$ si su serie de Laurent es periódica.
Ahora dejemos que $f=g/h$ con polinomios $g,h \in \mathbb{Z}[X]$ tal que la serie de Laurent de $f$ tiene coeficientes enteros. La reducción módulo p da como resultado $\bar{f}=\bar{g}/\bar{h} \in\mathbb{F}_p(X)$ . Por lo tanto, los coeficientes de $f$ son periódicas módulo p. Me pregunto si lo contrario es cierto:
Pregunta 1: Dejemos que $f$ sea una serie de Laurent con coeficientes enteros. Es $f \in Quot(\mathbb{Z}[X])$ si los coeficientes de $f$ son periódicas para todos los primos (con período que depende del primo)?
Supongamos que los coeficientes de $f$ son periódicas módulo p. Por lo tanto, la reducción módulo p es racional, es decir $\bar{f} \in \mathbb{F}_p(X)$ . Por lo tanto, una formulación equivalente de la pregunta es:
Pregunta 2: Dejemos que $f$ sea una serie de Laurent con coeficientes enteros. Es $f$ racional, es decir $f \in Quot(\mathbb{Z}[X])$ si la reducción módulo p es racional para todos los primos ?
Editar: Como ha demostrado Felipe, la respuesta es en general negativa. Como me interesan sobre todo las series de potencias convergentes (con coeficientes enteros), me gustaría preguntar además, si hay también contraejemplos en este caso ?
