Necesito expresar el radio $r$ del cono circular derecho en función de su altura $h$ dado que su volumen es igual a su superficie lateral. Conozco las dos ecuaciones $\pi r \times \sqrt{r^2 + h^2}$ y el volumen $\frac{\pi}{3} r^2 h$ . ¿Simplemente pongo estas ecuaciones como iguales y resuelvo para $h$ ? No sé muy bien a dónde ir a partir de aquí.
Respuesta
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La superficie lateral es $A_L = \frac{1}{2} C \times S$ , donde $C$ es la circunferencia de la base, y $S = \sqrt{r^2+h^2}$ es la distancia desde la punta del cono hasta el punto del círculo base.
La igualdad entre el volumen y la superficie te da una ecuación: $$ \pi r \sqrt{r^2+h^2} = \frac{\pi}{3} r^2 h $$ Suponiendo que $r>0$ y $h>0$ esto se simplifica a $3 \sqrt{r^2+h^2} = r h$ . Al elevar al cuadrado el lado izquierdo y el lado derecho se obtiene la ecuación auxiliar, con la propiedad de que toda solución de la ecuación original es una solución de la ecuación auxiliar. Pero la ecuación auxiliar puede tener soluciones extrañas.
La ecuación auxiliar será una ecuación cuadrática simple, con dos soluciones. Deberás comprobar cuál de ellas satisface la ecuación original, y en qué condiciones será posible.
