Supongamos que tengo un espacio topológico $X$ . Sea $\mathcal{O}(X)$ denota el conjunto de subconjuntos abiertos. Existe un functor canónico $\mathcal{O}(X) \to Top/X$ que envía un $U \in \mathcal{O}(X)$ a $U \hookrightarrow X$ . Por extensión de Kan a la izquierda, esto produce una adjunción entre $Set^{\mathcal{O}(X)^{op}}$ y $Top/X$ . La unión de la izquierda, $L$ es precisamente la construcción del espacio etale, mientras que el adjunto derecho, $\Gamma$ es el functor "gavilla de secciones". $\Gamma \circ L$ es la sheafificación. Por un sinsentido abstracto, esta adjunción se restringe a una equivalencia entre, por un lado, la subcategoría en la que la unidad es una iso, y por otro, la subcategoría en la que el conejo es una iso. Se ve fácilmente que la primera es la categoría de las láminas sobre $X$ . Sé que esta última es la categoría de los espacios etale sobre $X$ , es decir, los mapas $Y \to X$ que son homeomorfismos locales. Esto se demuestra tradicionalmente por lo general una descripción explícita del espacio etale de una gavilla, topologizando los gérmenes de las secciones locales, etc. Sin embargo, ¿hay una manera de ver esto a un nivel de abstracción más alto, apelando sólo a la definición abstracta de esta adjunción inducida y a las propiedades abstractas de los homeomorfismos locales?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
He aquí un esbozo de por qué creo que la condición que $Y$ es un homeomorfismo local sobre $X$ debería ser suficiente para que el conteo sea un homeomorfismo. Todavía no he resuelto lo contrario.
Para un presheaf $F \in Set^{\mathcal{O}(X)^{op}}$ la fórmula para la extensión del Kan izquierdo debe ser $$L(F) = \mathrm{colim}_{y(U) \rightarrow F} U$$ donde $y : \mathcal{O}(X) \rightarrow Set^{\mathcal{O}(X)^{op}}$ es la incrustación de Yoneda. Por el lema de Yoneda, la categoría de indexación para el colímite es exactamente la categoría de elementos de $F$ que escribiré como $\int F$ .
Ahora, consideremos el caso en el que $F = \Gamma_Y$ para un poco de espacio $p: Y \rightarrow X$ y asumir que $p$ es un homeomorfismo local. Tenemos $\Gamma_Y(U) = \{\sigma : U \rightarrow Y | p \circ \sigma = \mathrm{id}_U \}$ . Así que los objetos de la categoría $\int \Gamma_Y$ son exactamente las secciones sobre los distintos conjuntos abiertos de $X$ y los morfismos vienen dados por la restricción de las secciones. Escribiré $d(\sigma)$ para el dominio de una sección determinada.
Nuestra fórmula de extensión de Kan se convierte en $$L(\Gamma_Y) = \mathrm{colim}_{\sigma \in \int \Gamma_Y} d(\sigma)$$ A partir de aquí es fácil ver cuál es el conejo: como nuestro objeto está dado por un colímite, basta con construir un mapa $d(\sigma) \rightarrow Y$ para cada $\sigma \in \int \Gamma_Y$ . Pero claramente $\sigma$ se califica a sí mismo.
Ahora elige una cubierta abierta $\{V_\alpha\}$ de $Y$ tal que $p$ se restringe a un homeomorfismo en cada $V_\alpha$ . Entonces tenemos una colección $\{\sigma_\alpha : p(V_\alpha) \rightarrow V_\alpha\}$ de secciones eligiendo la inversa a cada restricción. Mi afirmación sería que esta colección es cofinal (¿o final? Nunca recuerdo cuál) en la categoría $\int \Gamma_Y$ para que podamos restringir nuestro colímite a sólo esta subcategoría. Obsérvese que en este caso, los componentes del mapa counit anterior son homeomorfismos.
Además, esta subcategoría debe ser también cofinal en $\mathcal{O}(Y)$ asociando $\sigma_\alpha$ con el conjunto abierto $V_\alpha$ . Entonces el hecho de que el conteo sea un homeomorfismo debería ser la afirmación de que un espacio topológico es el colímite de cualquiera de sus coberturas abiertas.
¿Esto va en la línea de lo que estabas pensando?
