demostrando que podemos aprox. el valor $|\sum_{n=1}^{p}a_{n}b_{n}-S|$ utilizando la fórmula de la suma de Abel

Question

Supongamos que $a_n,b_n$ 2 series tales: para cada $p\in N$ existe $M>0$ tal que : $|S_{p}|=|\sum_{n=1}^{p}a_{n}|\leq M$ y $b_n$ decreciente monótona y cubriendo a 0. Dejemos que $S=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}$

y demostrar que $|\sum_{n=1}^{p}a_{n}b_{n}-S|\leq2Mb_{p+1}$

hasta ahora he conseguido llegar aquí : $|\sum_{n=1}^{p}a_{n}b_{n}-S|\leq |S_{p}b_{p+1}+\sum_{n=1}^{p}S_{n}\left(b_{n}-b_{n+1}\right)-S|$ utilizando la fórmula de la suma de Abel. No sé cómo proceder. Gracias.

Answer 1

Emplea el método de Abel para la cola en su lugar: $$\begin{align*} & \left| {\sum\limits_{n = 1}^p {a_n b_n } - S} \right| = \left| {\sum\limits_{n = p + 1}^\infty {a_n b_n } } \right| = \left| {S_p b_{p + 1} - \sum\limits_{n = p + 1}^\infty {S_n (b_n - b_{n + 1} )} } \right| \\ & \le \left| {S_p b_{p + 1} } \right| + \sum\limits_{n = p + 1}^\infty {\left| {S_n } \right|(b_n - b_{n + 1} )} \le Mb_{p + 1} + \sum\limits_{n = p + 1}^\infty {M(b_n - b_{n + 1} )} = 2Mb_{p + 1} . \end{align*}$$