¿método sencillo para expandir el binomio con 3 o más términos?

Question

He visto

Pregunta sobre el teorema del binomio (expansión de tres términos)

Teorema del binomio con tres términos

Expansión de la ecuación con el teorema del binomio

pero no soy tan experto en matemáticas, necesito que me expliquen las cosas en términos sencillos.

Básicamente he escuchado que la solución

(x + y)^

es esencialmente

(x + y)(x + y)

y luego multiplicar los primeros términos, (más a la izquierda), luego el primer término de uno con el último término del otro (exterior) luego el segundo término de uno con el primer término del otro (interior) luego los dos últimos términos de cada uno (más a la derecha), y sumarlos, así

x * x + x * y + y * x + y * y =

x^2 + 2xy + y^2

eso es prácticamente todo lo que sé, ahora si quiero resolver un binomio más complicado, con tres o más términos, por ejemplo

(x + y + z)(x + y + z)

¿utilizaría un método similar? Es decir, ¿empiezo por los términos más a la izquierda y luego x * y Entonces, ¿qué hago? x * z y luego pasar al siguiente término derecho, y, y hacer y * x + y * y + y * z y luego hacer lo mismo para z, es decir z * x + z * y + z * z ? ¿Me estoy perdiendo algo aquí, o es eso?

Answer 1

No necesitas ningún teorema o resultado que no sea la propiedad distributiva: $a(b+c)=ab+ac$ . Aplicando esto una vez, tenemos $(x+y)(x+y)=x(x+y)+y(x+y)$ . Aquí, la izquierda $x+y$ está desempeñando el papel de $a$ y el derecho $x$ y $y$ están desempeñando los papeles de $b$ y $c$ respectivamente. A continuación, podemos volver a utilizar la misma propiedad para ver $x(x+y)=x^2+xy$ y $y(x+y)=yx+y^2$ . Desde $xy=yx$ tenemos

\begin{align} (x+y)(x+y)&=x(x+y)+y(x+y)\\ &=x^2+xy+yx+y^2\\ &=x^2+xy+xy+y^2\\ &=x^2+2xy+y^2. \end{align}

Para tres términos podemos hacer lo mismo:

\begin{align} (x+y+z)(x+y+z)&=x(x+y+z)+y(x+y+z)+z(x+y+z)\\ &=x^2+xy+xz+xy+y^2+yz+xz+yz+z^2\\ &=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz. \end{align}