Significado de "totalmente descomponible"

Question

Para el carcaj $1 \rightarrow 2$, podemos considerar la categoría de representaciones $Rep \;(Q)$. Los objetos son representaciones de este carcaj, y los morfismos son tales que tenemos

$$\require{AMScd}f_1 \begin{CD} V_1 @>{\phi}>> V_2\\ @VVV \circlearrowright @VVV \\ V_1' @>{\phi'}>> V_2'; \end{CD}f_2$$

(es decir, el diagrama conmuta).

Me han dicho que esta categoría es totalmente descomponible, pero no sé lo que significa. Supongo que cada objeto en esta categoría puede ser de alguna manera escrito como la suma de otros objetos indecomponibles, pero no tengo claro en qué sentido utilizo la palabra "suma" aquí. Se agradecería una aclaración.

Answer 1

Si estamos hablando de representaciones sobre un campo, o más generalmente sobre un PID, entonces cada representación es una suma directa de irreducibles, como en la teoría de representación de grupos finitos sobre campos de característica cero. Las representaciones irreducibles sobre un campo están representadas por los mapas de multiplicación $m_y:x\mapsto xy$ para cada $y\neq 0\in R$, así como por $0\to R$ y $R\to 0$. $m_y$ y $m_z$ son isomorfos si y solo si $y=uz$ para algún unitario $u$, por lo que hay un total de tres irreducibles. Sobre un PID, hay más irreducibles, ya que hay elementos que no son unidades y también módulos no libres.

La suma directa en tu categoría está dada por la suma diagonal: si $f:A\to B, g:C\to D$, entonces hay un mapa inducido $f\oplus g:A\oplus C\to B\oplus D$ que envía $(a,c)$ a $(fa,gc)$. Luego, la prueba de "descomponibilidad completa" para esta categoría sigue del formulario normal de Smith, que muestra exactamente que cualquier mapa de módulos (libres) puede ser diagonalizado, lo que lo descompone en mapas irreducibles.