Primero: ¿son ciertas estas igualdades? $$|E[Y]-E[X]|=|E[Y]|-|E[X]|.$$ $$|E[Y]-E[X]|^2=|E[Y]|^2-|E[X]|^2$$
segundo: cuál es el resultado de esta relación:
$$\sum_{i=1}^{3}p_i.(X_i-\mu)^2=?$$
donde el $\mu =\sum_{i=1}^{3}(p_i.X_i)$
Respuestas
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Nikolai Prokoschenko
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En la primera, no: si $Y=1$ y $X=-1$ entonces el lado izquierdo es positivo mientras que el lado derecho es cero.
En cuanto a la segunda, parece que podría estar pensando en una variable aleatoria $X$ donde $\Pr(X=x_i)=p_i$ , donde $\sum p_i = 1$ , $\sum p_i x_i= \mu$ la media de $X$ y $\sum p_i (x_i-\mu)^2= \sigma^2$ la varianza de $X$ . Pero tal vez su intención sea otra.
"¿Cuál es el resultado?" es un poco vago. En algunos contextos sería una petición de una simplificación; la respuesta de Henry parece tratarla como una petición del nombre de un concepto (la varianza). Quizás también podría ser una petición de una expresión alternativa que podría ser computacionalmente más manejable. Si eso es lo último, hay un poco de álgebra: $$ \begin{align} & {}\quad p_1(X_1-\mu)^2 + p_2(X_2-\mu) ^2+ p_3(X_3-\mu)^2 \\[10pt] & = p_1(X_1^2-2X_1\mu + \mu^2) + p_2(X_2^2-2X_2\mu + \mu^2) + p_3(X_3^2-2X_3\mu + \mu^2) \\[10pt] & = p_1 X_1^2 + p_2 X_2^2 + p_3 X_3^2 -2\mu(p_1 X_1+p_2 X_2+p_3 X_3) + (p_1+p_2+p_3)\mu^2 \\[10pt] & = \left(p_1 X_1^2 + p_2 X_2^2 + p_3 X_3^2\right) -\left(2\mu\cdot \mu\right) + \left(1\cdot\mu^2\right) \\[10pt] & = \left(p_1 X_1^2 + p_2 X_2^2 + p_3 X_3^2\right) - \mu^2. \end{align} $$
Así, el valor esperado del cuadrado, menos el cuadrado del valor esperado es igual a la desviación .
