Convergencia casi segura en el teorema de convergencia de la martingala

Question

Dejemos que

• $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ sea un espacio de probabilidad
• $(\mathcal F_t)_{t\ge0}$ sea una filtración de $\mathcal A$
• $X:\Omega\times[0,\infty)\to\mathbb R$ sea un cuadrado-integrable continuo a la derecha $\mathcal F$ -martingale

Podemos demostrar que $(X_n)_{n\in\mathbb N}$ es $L^2(\operatorname P)$ -Cauchy y, por tanto, existe un único $X_\infty\in L^2(\operatorname P)$ con $$\left\|X_n-X_\infty\right\|_{L^2(\operatorname P)}\xrightarrow{n\to\infty}0\;.\tag1$$ Podemos demostrar que $$\sup_{t\ge n}\left|X_t-X_n\right|\xrightarrow{n\to\infty}0\;\;\;\text{in probability}\;.\tag2$$ ¿Cómo podemos concluir $$X_t\xrightarrow{t\to\infty}X_\infty\;\;\;\text{almost surely}\tag3$$ de $(2)$ ?

Answer 1

Dejemos que $$Y_n\stackrel{\text{def}}=\sup_{t\ge n}|X_t-X_\infty|\le\sup_{t\ge n}|X_t-X_n|+|X_n-X_{\infty}|\overset{\mathsf{P}}{\underset{n\to\infty}\longrightarrow}0. $$ Mientras tanto, $Y_n$ está disminuyendo en $n$ y la convergencia a.s. como $n\to\infty$ Así que $Y_n\downarrow 0$ a.s. y $X_t\to0$ a.s. como $t\to\infty$ .