La lógica difusa y la teoría de topos

Question

¿Por qué no desarrollar una lógica difusa mediante la ampliación de los topos de la teoría, simplemente ampliando el subobjeto clasificador $\Omega$ a la unidad intervalo [0,1]? Tiene la gente hace eso?

Answer 1

Aquí están algunos papeles, que no he leído en detalle. Estoy un poco preocupado de que no existen Exámenes de Matemáticas para la mayoría de ellos, y ciertamente no puedo dar fe de su veracidad. (Yo no sé nada de la lógica difusa, y sólo un minúsculo pedacito de la teoría de topos; soy simplemente un aficionado.)

• Pitts, Andrew M. (1982). Conjuntos difusos no forman un topos. En: Conjuntos Difusos y Sistemas 8.1, páginas 101 a 104. DOI: 10.1016/0165-0114(82)90034-3

  Deje $H$ ser un álgebra de Heyting. El principal resultado es que la categoría de $H$valores de conjuntos difusos $\textrm{Fuz}(H)$ definido por Eytan es un topos si y sólo si $H$ es un álgebra Booleana. Al parecer, el problema es que $H$valores de conjuntos difusos son insuficientemente 'fuzzified' (Pitt palabra!) para ser bien educados lo suficiente para formar un topos. Para ser precisos, $H$valores de conjuntos difusos 'fuzzify' sólo el $\in$ predicado, mientras que $H$valores de los conjuntos de 'fuzzify"$=$$\in$. Se puede demostrar que la categoría de $H$valores de los conjuntos es equivalente a la categoría de poleas $H$, y por lo tanto hacer la forma de un "topos"$H\textrm{-Set}$. Pitt muestra que $H$valores de conjuntos difusos son equivalentes a una cierta completo subcategoría de $H\textrm{-Set}$

• Stout, Lawrence Neff (1984). Topoi y categorías de conjuntos difusos. En: Conjuntos Difusos y Sistemas de 12.2 páginas 169-184. DOI: 10.1016/0165-0114(84)90036-8

  Deje $L$ ser completamente distributiva de la celosía. (A continuación también es una completa álgebra de Heyting $H$.) El trabajo comienza mostrando que Goguen la caracterización de las categorías de conjuntos de tener una " imprecisión de límites con la tolerancia medido en $L$' $\textrm{Set}(L)$ son esencialmente incompatibles con los axiomas de primaria toposes: $\textrm{Set}(L)$ es un topos si y sólo si $L$ es el trivial de la celosía, en cuyo caso la categoría es lo habitual en la categoría de conjuntos. Como en el anterior, Goguen sugiere que una mejor categoría puede resultar tomando mapas que son difusos como bien'; al parecer, esto es lo que Eytan hizo con su $\textrm{Fuz}(H)$.

  Stout continúa con un breve examen de la lógica interna de la $\textrm{Set}(H)$, $\textrm{Fuz}(H)$, $\textrm{Sh}(H)$, tomando nota de que la lógica interna de estas categorías y la habitual lógica difusa operaciones no necesariamente coinciden, y $\textrm{Set}^{H^{\textrm{op}}}$ y se concluye con algunos resultados acerca del cambio de base para estas categorías.

• Barr, Miguel (1986) Difusa de la teoría de conjuntos y teoría de topos. En: Canadá. De matemáticas. Bull. 29.4, pp 501–508. DOI: 10.4153/CMB-1986-079-9.

  Hay un Examen de Matemáticas para este papel: MR860861.

  Deje $L$ ser una configuración regional. Como los dos anteriores artículos, el principal argumento es que la $L$valores de conjuntos difusos no son difusos suficiente para que sus categorías se toposes. Barr describe una generalización, y muestra que es equivalente a una gavilla en una configuración regional $L^+$, obtenido mediante la ampliación de $L$ con una nueva parte inferior del elemento, y también muestra que Eytan $\textrm{Fuz}(L)$ es equivalente a una cierta categoría de $\textrm{Sh}(L^+)$.

• Stout, Lawrence Neff (1991). Un estudio de Conjunto Borroso y topos de la teoría. En: Conjuntos Difusos y Sistemas 42.1, pp 3-14. DOI: 10.1016/0165-0114(91)90085-5.

  Sólo voy a citar el papel directamente: "Nuestra investigación de las diversas categórica formulaciones de la teoría de conjuntos Difusos y una variedad de tipos de topoi sugieren que una síntesis de los dos campos, con el refinamiento de la noción de una categoría de conjuntos difusos para dar algo más débil que un topos, pero con una más rica de la lógica, es deseable.

  [...]

  "A lo largo de este proceso, se debe recordar que el objeto es encontrar una base adecuada para la teoría de conjuntos Difusos, por lo que el original intervalo de valores de conjuntos difusos al menos debe ser integrado en nuestra estructura. La elección de la definición debe basarse en lo que es natural, lo que es poderoso, y lo que le da un elegante y completo de la fundación para difusa de las matemáticas.'