Cómo evaluar $ \int_{0}^{1} x^{x^{x^{x^…}}} dx $

Question

Inspirado por el hecho de que $\int_0^1 \frac{1}{x^x}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^k}$ Me he preguntado si es posible evaluar la siguiente integral: $$ \int_{0}^{1} x^{x^{x^{x^…}}} dx $$ De manera similar. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Esta no es una respuesta adecuada. Pero sí una aproximación que explora los aspectos recursivos del problema que, imagino, conducen a la solución esperada. Definir las funciones $\varphi: (0,+\infty)\to [0,+\infty]$ y $\varphi_n: (0,+\infty)\to [0,+\infty]$ por

Más concretamente, estas funciones se definen por recursión: $$ \varphi_{n}(x)= \left\{ \begin{array}{rcl} x, & \mbox{ if } & n=1\\ x^{\varphi_{n-1}(x)}, & \mbox{ if } & n> 1 \end{array} \right. \quad \mathrm{ and } \quad \varphi(x)=\lim_{n\to \infty}\varphi_n(x) $$ si el límite existe. En el caso de $x$ entre $0$ y $1$ dicho límite existe, es decir para todos $\frac{1}{2}>\epsilon>0$ y $x\in[\epsilon, 1]$ el límite $\varphi(x)=\lim_{n\to\infty}\varphi_n(x)<\infty$ existe. Cuidado con los límites de convergencia, $$ \int_0^1\varphi(x)\mathrm{d} x = \lim_{\epsilon\to 0}\int_\epsilon^{1}\lim_{n\to\infty}\varphi_n(x)\mathrm{d} x $$ Por el Teorema de convergencia dominada de Lebesgue ( $|\varphi_n(x)|\leq 1$ para todos $x\in[\epsilon, 1]$ para todos $\epsilon >0$ ). $$ \int_0^1\varphi(x)\mathrm{d} x= \lim_{\epsilon\to 0}\lim_{n\to\infty}\int_\epsilon^{1}\varphi_n(x)\mathrm{d} x $$ Ahora vamos a obtener un procedimiento más manejable para aproximar la integral $ \int_\epsilon^{1}\varphi_n(x)\mathrm{d} x \quad \mbox{ for all } n. $ Tenga en cuenta que \begin{align} \log\varphi_{n}(x)=& \varphi_{n-1}(x) \log x \\ \log^{2}\varphi_{n}(x)=& \varphi_{n-2}(x) (\log x )^2\\ \log^{3}\varphi_{n}(x)=& \varphi_{n-3}(x) (\log x )^3\\ \vdots\;& \hspace{2cm}\vdots \\ \log^{k}\varphi_{n}(x)=& \varphi_{n-k}(x) (\log x )^k\\ \vdots\;& \hspace{2cm}\vdots \\ \log^{n-2}\varphi_{n}(x)=& \varphi_{2}(x) (\log x )^{n-2}\\ \log^{n-1}\varphi_{n}(x)=& \varphi_{1}(x) (\log x )^{n-1}\\ \end{align} Entonces $\varphi_n(x)=\exp^{n-1}\left(x \cdot (\log x )^{n-1}\right)$ \begin{align} \int_0^{1}\varphi (x)\mathrm{d} x & = \lim_{\epsilon\to 0}\int_{\epsilon}^{1}\lim_{n\to \infty}\varphi_n(x)\mathrm{d}x \\ & = \lim_{\epsilon\to 0}\int_{\epsilon}^{1}\lim_{n\to \infty}\exp^{n-1}\left(x\cdot (\log x)^{n-1}\right)\mathrm{d}x \\ & = \lim_{\epsilon\to 0}\lim_{n\to \infty}\int_{\epsilon}^{1}\exp^{n-1}\left(x\cdot (\log x)^{n-1}\right)\mathrm{d}x \\ & = \lim_{n\to \infty}\lim_{\epsilon\to 0}\int_{\epsilon}^{1}\exp^{n-1}\left(x\cdot (\log x)^{n-1}\right)\mathrm{d}x \end{align}