¿Convergencia analítica de una ecuación?

Question

Estoy leyendo un documento que muestra la siguiente ecuación:

$$ x_t = x_i + \alpha x_{t-1} $$

Donde $x_i$ es el valor inicial, y $\alpha$ es una constante real simple.

Estoy tratando de averiguar si hay una manera de determinar (analíticamente) la convergencia de $x_t$ si me dan $\alpha$ y $x_i$ ? Quiero hacerlo porque creo que hay un error en el documento.

Gracias.

Answer 1

Sugerencia: si $\,\alpha=1\,$ entonces $\,x_t\,$ es una progresión aritmética, en caso contrario $\,x_t\,$ difiere en una constante de una progresión geométrica con relación común $\,\alpha\,$ , ya que:

$$ x_t = x_i + \alpha x_{t-1} \quad\iff\quad x_t + \dfrac{x_i}{\alpha-1} = \alpha \left(x_{t-1}+\dfrac{x_i}{\alpha-1}\right) $$