Demostrar que $\displaystyle{\lim_{x \to a}} \sin x = \sin a$ utilizando la definición épsilon-delta

Question

He estado luchando con esta pregunta. No sé cómo deshacerse de la función sinusoidal después de llegar a $$|\sin x - \sin a| \leq 2 \left| \sin \dfrac{x - a}{2} \right|$$ La fórmula del medio ángulo no es realmente útil, no estoy seguro de qué hacer a partir de aquí.

Answer 1

Pensar en una identidad era una buena idea. Sin embargo, utilizar $\sin(\alpha)-\sin(\beta)=2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$ .

Queremos comprobar que $\forall \epsilon>0$ , $\exists$ $\delta>0$ tal que:

$|x-c|<\delta \implies |\sin(x)-\sin(c)|<\epsilon$ .

Dejemos que $\epsilon=\delta$ entonces $|\sin(x)-\sin(c)|=2\cos(\frac{x+c}{2})\sin(\frac{x-c}{2})\leq2|\frac{x-c}{2}|=|x-c|<\delta=\epsilon$ .

Podemos justificar este último paso con lo siguiente:

• $|\cos(x)|\leq 1 ~\forall x\in\mathbb{R}$
• $|\sin(x)|<|x| ~\forall x\in\mathbb{R}$

Answer 2

Utiliza el teorema del valor medio. Es decir, $|\sin(x) - \sin(a)| \leq |\cos(\psi)||x-a|$ para algunos $\psi \in (x, a)$ . Te dejaré terminar la prueba.