Encontrar un espacio nulo de la matriz A

Question

Dejemos que $0 \neq a_1,a_2,a_3 \in \mathbb{R}^3$ tal que cada par de vectores no es colineal y

$3a_1+2a_2+a_3=0$

Encontrar el núcleo de la matriz $A=\begin{bmatrix} a_1& a_2& a_3\end{bmatrix}$ cuyo $i$ -la columna número uno es el vector $a_i$ .

Dado que dos de los vectores son linealmente independientes y $dim\ ker(A)>1$ entonces $dim\ ran(A)=2$ y $dim\ ker(A)=1$ para que $ker(A)=span(3,2,1)$ ¿esto está bien?

Answer 1

Como las columnas de la matriz son linealmente dependientes (porque $3a_1 + 2 a_2 + a_3=0$ ), $dim\ ker(A) \geq 1$ . (Usted escribió $>$ y debe ser $\geq$ .)

Supongamos que $dim\ ker(A) > 1$ entonces $dim\ ran(A) < 3 - 1 = 2$ Así que $dim\ ran(A) \leq 1$ . Como $A$ no es la matriz cero, $dim\ ran(A) =1$ pero eso implica, por ejemplo, que $a_1$ y $a_2$ son colineales, lo cual es absurdo.

Por lo tanto, concluimos que $dim\ ker(A)=1$ . Como $(3\ 2\ 1) \in ker(A)$ concluimos que $span(3\ 2\ 1) = ker(A)$ .