¿Representación matricial de los cuaterniones?

Question

¿Puede alguien explicar por qué la representación matricial de los cuaterniones mediante matrices reales ¿se construye como tal?

Answer 1

No estoy seguro de lo que quiere decir exactamente al preguntar "... por qué el ...". Las preguntas "por qué" pueden ser difíciles de responder satisfactoriamente en matemáticas.

La afirmación es que los cuaterniones $\mathbb{H}$ son isomorfas (como $\mathbb{R}$ -) al conjunto de matrices dado. El isomorfismo tiene el siguiente aspecto:

$$ \phi: a + bi + cj + dk \longmapsto \begin{pmatrix}a & b & c & d \\ -b & a & -d & c \\ -c &d &a& - b\\ -d& -c & b& a\end{pmatrix}. $$ Para "entender" por qué esto es cierto, se comprueba "simplemente" que se trata de un isomorfismo.

Se comprueba, por ejemplo, que $\phi$ es biyectiva, lo que se deduce de la construcción.

Entonces comprueba que $\phi$ es un homomorfismo de álgebra, por lo que se necesita para $x,y\in \mathbb{H}$ y $\lambda \in \mathbb{R}$ :

1. $\phi(xy) = \phi(x)\phi(y)$ para $x,y\in\mathbb{H}$
2. $\phi(x+y) = \phi(x) + \phi(y)$
3. $\phi(\lambda x) = \lambda\phi(x)$

Los dos últimos no son difíciles de comprobar. La primera requiere un poco de trabajo.

Aunque esto no responde a que los signos menos estén donde están en la matriz, te recomiendo que intentes demostrar que $\phi$ es un homomorfismo. Este ejercicio te permitirá familiarizarte con los cuaterniones.

Pero tenga en cuenta que si comprueba la propiedad $3$ arriba necesitarías (como caso especial) $$ \phi((bi)(bi)) = \phi(ib)\phi(ib). $$ Es decir, necesitaría $$ \begin{pmatrix} -b^2 & 0 & 0& 0 \\ 0 & -b^2 & 0 & 0 \\ 0 &0 &-b^2& 0\\ 0& 0 & 0& -b^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & b & 0& 0 \\ -b & 0 & 0 & 0 \\ 0 &0 &0& -b\\ 0& 0 & b& 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & b & 0& 0 \\ -b & 0 & 0 & 0 \\ 0 &0 &0& -b\\ 0& 0 & b& 0\end{pmatrix}. $$ Así que aquí se puede ver que se "necesita" el menos en todos los $b$ 's. En este caso se trata de que $i^2 = -1$ .

Answer 2

Es una simple consecuencia de las reglas de multiplicación de los cuaterniones.

Así que $$ \eqalign{ & \left( {a + bi + cj + dk} \right) \cdot 1 = \left( {\matrix{ a & b & c & d \cr { - b} & a & { - d} & c \cr { - c} & d & a & { - b} \cr { - d} & { - c} & b & a \cr } } \right)^{\,T} \left( {\matrix{ 1 \cr 0 \cr 0 \cr 0 \cr } } \right) = \left( {\matrix{ 1 \cr 0 \cr 0 \cr 0 \cr } } \right)^{\,T} \left( {\matrix{ a & b & c & d \cr { - b} & a & { - d} & c \cr { - c} & d & a & { - b} \cr { - d} & { - c} & b & a \cr } } \right) = \left( {\matrix{ a \cr b \cr c \cr d \cr } } \right) \cr & \left( {a + bi + cj + dk} \right) \cdot i = \left( {\matrix{ a & b & c & d \cr { - b} & a & { - d} & c \cr { - c} & d & a & { - b} \cr { - d} & { - c} & b & a \cr } } \right)^{\,T} \left( {\matrix{ 0 \cr 1 \cr 0 \cr 0 \cr } } \right) = \left( {\matrix{ { - b} \cr a \cr { - d} \cr c \cr } } \right) \cr} $$ y así sucesivamente

Answer 3

Si no se trata de un malentendido, la pregunta de "¿por qué como tal (otras posibles?)" es equivalente al problema de averiguar TODAS las representaciones matriciales reales de 4x4 de los cuaterniones. El hecho es: todas esas representaciones matriciales son conjugadas entre sí. En otras palabras, esta es la única representación matricial real de 4x4 de los Cuaterniones hasta la equivalencia.