Cargo de la conjugación en la ecuación de Dirac

Question

De acuerdo a la ecuación de Dirac se puede escribir, \begin{equation} \left(i\gamma^\mu( \partial_\mu +ie A_\mu)- m \right)\psi(x,t) = 0 \end{equation} Buscamos una ecuación donde los $e\rightarrow -e $ y que se refiere a las nuevas funciones de onda a $\psi(x,t)$ . Ahora tomando el complejo conjugado de esta ecuación obtenemos

\begin{equation} \left[-i(\gamma^\mu)^* \partial_\mu -e(\gamma^\mu)^* A_\mu - m \right] \psi^*(x,t) = 0 \end{equation} Si podemos identificar una matriz U tal que \begin{equation} \tilde{U} (\gamma^\mu)^* ( \tilde{U} )^{-1} = -\gamma^\mu \end{equation} donde $ 1 =U^{-1} U$.

Quiero saber, ¿por qué y cómo lo hacemos los dos últimos ecuación. Más precisamente, me gustaría saber más detalles y el significado de las dos últimas ecuaciones.

Answer 1

La ecuación de Dirac para una partícula con carga en $e$ $$ \left[\gamma^\mu (i\partial_\mu - e A_\mu) - m \right] \psi = 0 $$ Queremos saber si podemos construir un spinor $\psi^c$ con carga opuesta de $\psi$. Esto podría obedecer a la ecuación $$ \left[\gamma^\mu (i\partial_\mu + e A_\mu) - m \right] \psi^c = 0 $$ Si usted sabe acerca de las transformaciones de gauge $$ \psi \rightarrow \exp\left( i e \phi\right) \psi $$ (together with the compensating transformation for $A_\mu$, que no es necesario, aquí), esto sugiere que el complejo de la conjugación es la cosa para hacer: $$ \psi^\star \rightarrow \exp\left( i (-e) \phi\right) \psi^\star $$ Por lo que se ve como $\psi^\star$ tiene carga opuesta. Vamos a tomar el conjugado complejo de la ecuación de Dirac: $$ \left[-\gamma^{\mu\star} (i\partial_\mu + e A_\mu) - m \right] \psi^\star = 0 $$ Por desgracia, esto no es lo que queremos. Pero recuerde que spinors y $\gamma$ matrices se definen únicamente un cambio de base $\psi \rightarrow S \psi$$\gamma^\mu \rightarrow S \gamma^\mu S^{-1}$. Posiblemente se puede encontrar un cambio de base que trae la ecuación de Dirac en la forma que desee. Introducir una matriz invertible $C$ multiplicando a la izquierda y la inserción de $ 1 = C^{-1}C $ (tenga en cuenta que $C$ es la más común de notación para su $\tilde{U}$): $$ \begin{array}{lcl} 0 &= & C \left[-\gamma^{\mu\star} (i\partial_\mu + e A_\mu) - m \right] C^{-1} C\psi^\star \\ &= & \left[-C\gamma^{\mu\star}C^{-1} (i\partial_\mu + e A_\mu) - m \right] C\psi^\star \end{array}$$

Tenga en cuenta que si podemos encontrar una $C$ que obedece a $-C\gamma^{\mu\star}C^{-1} = \gamma^\mu$ $C\psi^\star$ hace una perfectamente buena candidata para $\psi^c$! Resulta que uno realmente puede construir $C$ satisfacer la condición y definir la carga de la conjugación como $$ \psi \rightarrow \psi^c = C\psi^\star $$

Usted puede ver esto de manera más explícita en términos de dos componentes spinors en el Weyl base: $$ \psi = \left( \begin{matrix} \chi_\alpha \\ \eta^{\dagger}_{\dot{\alpha}} \end{matrix} \right) $$ (la notación sigue la tomé en el tema). El cargo conjugado spinor en esta representación es $$ \psi^c = \left( \begin{matrix} \eta_\alpha \\ \chi^{\dagger}_{\dot{\alpha}} \end{matrix} \right) $$ Modo de carga de la conjugación es $$ \eta \leftrightarrow \chi $$ Esta representación explícita lleva a cabo las dos cargas opuestas de los componentes de la Dirac spinor, $\eta$$\chi$, y muestra que la carga de la conjugación de los actos por el intercambio de ellos.

En resumen: queremos definir una carga de la conjugación de la operación, de modo que dado un $\psi$ con carga eléctrica $e$, se puede obtener un $\psi^c$ con cargo a $-e$. Complejo de la conjugación de la ecuación de Dirac nos lleva allí, pero el resultado spinor $\psi^\star$ está en diferentes spinor base para la ecuación de Dirac no está en forma estándar. Se introduce un cambio de base de a $C$ para obtener la ecuación de Dirac de la espalda en forma estándar. Las condiciones necesarias para que esto funcione se que $C$ es invertible (de lo contrario no sería un cambio de base y lo malo que iba a pasar) y $-C\gamma^{\mu\star}C^{-1} = \gamma^\mu$.

Answer 2

La clave aquí es que la gamma matrices están dadas por sus relaciones de conmutación y aquellos que no determinan una única representación para las matrices.

Si usted comienza a partir de la ecuación de Dirac

$$\gamma^\mu (i\partial_\mu - e A_\mu) \Psi = m \Psi$$

y hacer la siguiente genérico de transformación de $\Psi = U \Psi'$ $U$ una constante de matriz inversa de a $UU^{-1}=1$ la ecuación se convierte en

$$\gamma^\mu U (i\partial_\mu - e A_\mu) \Psi' = m U \Psi'$$

multiplicando por la inversa de la matriz

$$U^{-1} \gamma^\mu U (i\partial_\mu - e A_\mu) \Psi' = m \Psi'$$

esto es equivalente a la ecuación original si $\gamma^\mu{'} = U^{-1} \gamma^\mu U$. Esta relación garantiza que el nuevo matrices de satisfacer la misma conmutación de las relaciones que el original.

En cuanto al caso específico de la carga de la conjugación creo que es el más fundamental enfoque utiliza el teorema CPT. En este caso la paridad es trivial, por tanto, queda encargado de la conjugación (C) y la inversión de tiempo (T). La ecuación de Dirac es invariante si tanto el signo de la carga y el tiempo son a la inversa. Esta es la base para Stuckelberg Feynman interpretación de antipartículas como partículas que viajan hacia atrás en el tiempo.