La convergencia del segundo momento implica la integrabilidad 2-uniforme

Question

$(X,d):Polish\ space$

$\mathcal P_2(X):= \{ \in \mathcal P (X)|\int_X{d^2(x,x_0)d\ \text{for some }x_0\in X} \}$

Definición $\mathcal S \subset \mathcal P_2(X)$ se dice 2-uniformemente integrable si para cualquier >0 y $x_0$ en X existe R>0 tal que $$\sup_{\in S}\int_{X\backslash B(x_0;R)}{d^2(x,x_0)d } $$

Para mostrar la siguiente proposición

Propuesta $\text{Let }\{_n\}\subset\mathcal{P}_2(X):\text{narrowly converging to }, \text{then} $ $$\lim{\int{d^2(\cdot,x_0)d_n}} = \int{d^2(\cdot,x_0)d}\ \text{for some } x_0 \in X \implies\ \{_n\} \text{ is 2-uniformly integrable.} $$

este documento http://cvgmt.sns.it/media/doc/paper/195/users_guide-final.pdf nos da una prueba de ello en la página 27

pero no puedo entender por qué

Supongamos que ${_n}$ no es 2-uniformemente integrable, entonces se sostiene

$$ \limsup_{n \rightarrow \infty}{\int_{X\backslash B(x_0;R)}{d^2(x,x_0)d }_n > } $$

Mi pregunta

Incluso si se asume que la integrabilidad 2-uniforme no se cumple

(existen >0 y $x_0$ en X, siempre que para cualquier R>0 exista n(R) $\in\mathbb{N}; \int_{X\backslash B(x_0;R)}{d^2(x,x_0)d }_{n(R)} > $ ),

no garantiza que {n(R) | R>0} contenga infinitos números.

Por lo tanto, si {n(R) | R>0} es finito, si tomo el número k lo suficientemente grande entonces se sostiene $$ \sup_{nk}{\int_{X\backslash B(x_0;R)}{d^2(x,x_0)d_n} }$$

Podrían ayudarme.

Answer 1

Se puede demostrar que una secuencia $(\mu_n)_n$ es uniformemente integrable si y sólo si $$ \lim_{R\to\infty}\limsup_{n\to\infty}\int_{X\setminus B(x_0;R)}{d^2(x,x_0)d\mu_n}=0. $$ Si $\sup_{n\geqslant 1}$ fue sustituido por $\limsup_{n\to\infty}$ sería simplemente la definición.

En efecto, para un positivo fijo $\varepsilon$ , dejemos que $R_0$ sea tal que $\limsup_{n\to\infty}\int_{X\setminus B(x_0;R_0)}{d^2(x,x_0)d\mu_n}<\varepsilon$ . Existe un $n_0$ tal que $\sup_{n\geqslant n_0}\int_{X\setminus B(x_0;R_0)}{d^2(x,x_0)d\mu_n}<\varepsilon$ . Tenga en cuenta que, dado que $\mu_n\in \mathcal P_2$ existe $R_n$ tal que $\int_{X\setminus B(x_0;R_n)}{d^2(x,x_0)d\mu_n}<\varepsilon$ . Por último, dejar que $R=\min\{R_i,0\leqslant i\leqslant n_0\}$ , obtenemos que $\sup_{n\geqslant 1}\int_{X\setminus B(x_0;R)}{d^2(x,x_0)d\mu_n}<\varepsilon$ .