¿Por qué es $\{0,1,5\}$ no es un subgrupo de $\Bbb{Z}/6\Bbb{Z}$ ?

Question

Por favor, ayúdenme a entender por qué $\{0,1,5\}$ no es un subgrupo de $\Bbb{Z}/6\Bbb{Z}$ cuando la inversa de $1$ es $5$ y viceversa. También está cerrado en $\Bbb{Z}/6\Bbb{Z}$ .

Answer 1

Oh, lo tengo. Lo siento, se me pasó añadir un elemento a sí mismo. Me quedé atascado en 1+5

Answer 2

Porque el subconjunto $\{0,1,5\}\subset\Bbb{Z}/6\Bbb{Z}$ es no cerrado bajo adición: $$1+1=2\notin\{0,1,5\}.$$

Answer 3

Hay que cerrar un grupo. Como 1+1=2 no es un elemento de {0,1,5}, no es cerrado, por lo que no es un grupo.

Answer 4

Te falta una definición extra de subgrupo: Un subgrupo debe ser cerrado lo que significa que para cada $a,b$ en el subgrupo, $a+b$ debe estar en el subgrupo también. En su caso, tome $a=b=5$ o $a=b=1$ entonces $a+b$ no estará en su subgrupo, por lo tanto, no es un subgrupo.