¿Cómo un functor entre categorías de índice induce un morfismo canónico entre colimits?

Question

Dejemos que $\theta:I \rightarrow J$ sea un functor entre categorías pequeñas. Sea $C$ sea una categoría cocompleta. Sea $F:I \rightarrow C$ y $G:J \rightarrow C$ sean dos diagramas en $C$ . Sea $Colim(F)$ y $Colim(G)$ sean colímites del diagrama $F$ y $G$ respectivamente en $C$ .

Dado $\theta:I \rightarrow J$ ¿existe siempre una elección natural del morfismo $\theta_{*}:Colim(F)\rightarrow Colim(G)$ en $C$ ?

Si no es así, ¿bajo qué condición podemos esperar una elección tan natural del morfismo entre colímites?

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $\theta$ mapas sobre $C$ (en el sentido de que $F=G\circ\theta$ ), entonces hay se sea un morfismo de elección canónica.

Un cocón $(c,\alpha)$ para $G:J\to C$ (es decir, un objeto $c\in C$ y morfismos $\alpha_j:G(j)\to c$ compatible con los morfismos en $J$ ) induce un cocón $(c,\alpha\circ\theta)$ para $F=G\circ\theta:I\to C$ desde $\alpha_{\theta(i)}:F(i)=G(\theta(i))\to C$ respeta la estructura de $I$ por la funtorialidad de $\theta$ . En particular, un colímite $\varinjlim G$ de $G$ induce un cocón de $F$ .

Dado que un colímite $\varinjlim F$ de $F$ es un universal cocona para $F$ esto significa que debemos tener un morfismo único $\theta_*:\varinjlim F\to\varinjlim G$ conmutando con los morfismos de cocos de ambas colimitas.

Sin embargo, si $\theta$ no se asigna sobre $C$ entonces no hay ninguna razón para esperar que haya un morfismo inducido canónico de colimits. De hecho, puede que ni siquiera haya un morfismo. Para un ejemplo realmente sencillo, dejemos que $I=J=*$ sea la categoría terminal, y $C = \{0,1\}$ sea la categoría discreta con dos objetos. Tomemos $F:I\to C$ para ser el functor que escoge $0\in C$ y $G:J\to C$ el functor que escoge $1\in C$ . Tenemos un functor único $\theta:I\to J$ pero no hay ningún morfismo $\varinjlim F\to\varinjlim G$ ya que esto sería un morfismo $0\to1$ en $C$ .