Encuentra todos los grupos cocientes de enteros Z /n?

Question

Lo he probado y creo que si Z es un grupo cíclico entonces todos sus grupos cocientes son Cíclicos... Pero que tipo de subgrupos normales de Z/n. Por favor, ayúdame a tener una mejor idea de lo que necesito...

Answer 1

Tienes razón en que los cocientes de un grupo cíclico son siempre cíclicos.

Desde $\mathbb Z/n$ es cíclico, es abeliano, y por tanto cada subgrupo es normal.

Para terminar, hay que encontrar todos los subgrupos de $\mathbb Z/n$ y los cocientes correspondientes. No es difícil.

Answer 2

En un grupo cíclico finito, hay un único subgrupo (normal) de cada orden que divide el orden del grupo.

Cada cociente de $\Bbb Z_n$ es una imagen homomórfica de $\Bbb Z_n$ ( utilizar la proyección canónica), por lo tanto cíclico.

En conclusión, se obtiene un subgrupo cíclico de cada orden que divide el orden del grupo.

Si se trata de $\Bbb Z$ (no estoy muy seguro de si lo es o no), se puede demostrar que todos los subgrupos son de la forma $n\Bbb Z$ . Así se obtienen como cocientes todos los grupos cíclicos finitos.