Tipo de representación de 26 dimensiones de diferentes formas reales del álgebra de Lie simple compleja $F_4$

Question

El álgebra de Lie simple compleja excepcional $F_4$ tiene una representación irreducible de 26 dimensiones $V$ con la etiqueta de Dynkin [0,0,0,1] en el ordenamiento habitual de las raíces simples que uno puede encontrar, por ejemplo, en el libro de Humphreys sobre álgebras de Lie y teoría de la representación. De hecho, $F_4$ puede definirse como la subálgebra de Lie de $\mathfrak{sl}(V)$ que preserva un producto interno simétrico y una cierta forma cúbica en $V$ .

Ahora hay tres formas reales diferentes de $F_4$ y mi pregunta es sobre qué pasa con $V$ cuando se restringe a estas formas reales. Las tres formas reales son la forma real compacta, la forma real dividida y una tercera forma. Pueden distinguirse por el "índice" de la forma de Killing; es decir, si la forma de Killing $\kappa(X,Y) = \operatorname{Tr} \operatorname{ad}_X \operatorname{ad}_Y$ tiene firma $(p,q)$ su índice es $p-q$ . Estoy más familiarizado con la forma real compacta, para la cual la forma de Killing es negativa-definida, por lo que de índice $-52$ . La forma real dividida tiene índice $4$ y la tercera forma real tiene índice $-20$ y se denominan $F_4^4$ y $F_4^{-20}$ respectivamente.

Me gustaría saber lo siguiente (también se agradecerían las indicaciones sobre la bibliografía):

Preguntas

¿Cuál es el tipo de $V$ bajo las diferentes formas reales? Sé que para la forma real compacta es real, pero me gustaría saber también para $F_4^{-20}$ y $F_4^4$ .

Y si el tipo es real (como sospecho que es el caso), ¿cuál es la firma del producto interno invariante en la representación real subyacente $V_{\mathbb{R}}$ ?

Gracias de antemano.

Editar

Según la respuesta de Jim, las representaciones son de tipo real en todos los casos. A partir de la respuesta de Bruce, parece que para el caso de división $F_4^4$ la firma es (14,12).

En un cálculo bastante enrevesado, me parece que para $F_4^{-20}$ la firma es (16,10), pero me gustaría una confirmación ya que he visto al menos una afirmación en la literatura de Física (véase la última ecuación de §4) que es (25,1).

Answer 1

Creo que la mejor manera de ver la firma de estas formas cuadráticas es utilizando la fórmula de "A Classification Theorem for Albert Algebras" de R. Parimala, R. Sridharan, y Maneesh L. Thakur, Trans. AMS 350 #3, marzo de 1998.

Todas las formas de $F_4$ surgen de las álgebras de Albert. En $R$ son álgebras de 27 dimensiones, cuyos automorfismos unitales forman grupos de tipo $F_4$ . Se clasifican, sobre campos de característica ni $2$ ni $3$ por invariantes cohomológicas $f_3$ y $f_5$ . Estos invariantes cohomológicos determinan las formas de Pfister triple y quíntuple, $\phi_3$ y $\phi_5$ respectivamente.

La fórmula de P-S-T (arriba), o tal vez originalmente debida a Serre, es que para un álgebra de Albert $A$ en $k$ , $$Q_A \perp \phi_3 \cong <2,2,2> \perp \phi_5.$$

Ahora sólo hay dos formas de Pfister sobre $R$ para $\phi_3$ y $\phi_5$ . La firma de $\phi_3$ es $(8,0)$ o $(4,4)$ . Del mismo modo, la firma de $\phi_5$ es $(32,0)$ o $(16,16)$ . La firma de $<2,2,2>$ es $(3,0)$ . De ahí las posibilidades de la firma $(p,n)$ de $Q_A$ son: $$(p,n) + (8,0) = (3,0) + (32,0),$$ $$(p,n) + (8,0) = (3,0) + (16,16),$$ $$(p,n) + (4,4) = (3,0) + (32,0),$$ $$(p,n) + (4,4) = (3,0) + (16,16).$$

Sólo son posibles tres casos: $(p,n) = (27,0)$ o $(p,n) = (11,16)$ o $(p,n) = (15,12)$ .

Como $F_4$ actúa sobre el complemento ortogonal de la identidad, y la identidad tiene norma positiva, las posibles firmas para la rep de 26 dimensiones de $F_4$ son: $$(26,0), (10,16), (14,12).$$

Answer 2

La respuesta a la primera pregunta (como usted espera) es que la representación es real en cada caso. No estoy tan seguro de cómo responder explícitamente a la segunda pregunta. Pero entre las muchas posibles fuentes más antiguas en la literatura matemática o física hay una que vale la pena mencionar:

J. Tetas, Tablas sobre los grupos de Lie simples y sus representaciones , Lect. Notes in Math. 40 (1967), Springer-Verlag

Este primer volumen de la serie (que se abandonó pronto en forma de página grande) está extraído de las conferencias que Tits dio en Bonn en 1966. Resume mucho material básico de forma concisa (en 53 páginas mecanografiadas) con algunas indicaciones sobre pruebas y referencias anteriores. Especialmente relevante para su propósito es la sección 11 sobre las representaciones de las formas reales, junto con las tablas detalladas para los tipos simples, incluyendo las tres formas reales de $F_4$ (páginas 43-44). Pero nótese que su convención de numeración para este diagrama de Dynkin es la inversa de la convención habitual de Bourbaki que yo he seguido.

Answer 3

Todas las formas de $F_4$ pueden definirse como grupos de automorfismo de alguna álgebra de Jordan de tres por tres matrices con entradas en octoniones / octoniones divididos / octoniones complejizados. Estas álgebras son todas de dimensión 27 sobre el campo apropiado y los subespacios de matrices libres de trazos son las representaciones irreducibles de 26 dimensiones de las diversas formas de $F_4$ . La forma cuadrática invariante es $A\mapsto \mathrm{Tr}(A^2)$ . (Y la forma cúbica invariante es $A\mapsto \mathrm{det}(A)$ .)

El grupo $F_4^{-20}$ es según Yokota (pero supongo que se puede sacar esto también del trabajo de Veldkamp o Springer) el grupo de automorfismo del álgebra real de Jordan $J(1,2,\mathbb{O}) = \{X\in \mathrm{M}(3,\mathbb{O}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}) \, |\, I_1 \overline{X}^tI_1 = X \}$ donde $I_1 = \mathrm{diag}(-1,1,1)$ . Ahora el cálculo de la firma de $A\mapsto \mathrm{Tr}(A^2)$ es una cuestión de simple cálculo.

Los otros dos casos reales $F_4^{-52}$ , $F_4^4$ se siguen de forma similar ya que son los grupos de automorfismo de $J(3,\mathbb{O}) = \{ X\in M(3,\mathbb{O})\,|\, X^t =X \}$ y $J(3,\mathbb{O}) = \{ X\in M(3,\mathbb{O}')\,|\, X^t=X \}$ respectivamente.

Answer 4

El papel http://arxiv.org/abs/math/0203010 discute varias construcciones de formas reales del cuadrado mágico de Freudenthal. Para $F_4$ obtienen $F_4^4$ y $F_4^{-52}$ pero no $F_4^{-20}$ . Hice un rápido escaneo pero no vi la representación de 26 dimensiones explícitamente pero debe estar ahí aunque sea implícitamente.

Este artículo se ha publicado en:

MR2020553 (2005b:17017)
Barton, C. H. ;  Sudbery, A.
Magic squares and matrix models of Lie algebras.
Adv. Math.  180  (2003),  no. 2, 596--647.