¿La inversa de una matriz simétrica semidefinida positiva es también una matriz simétrica semidefinida positiva?

Question

Si dejamos que $$S_{++}^n(\mathbb{R})$$

denota el conjunto de todos los cuadrado matriz simétrica positiva definida sobre los números reales, entonces es cierto si $A\in S_{++}(\mathbb{R}) \implies A^{-1} \in S_{++}(\mathbb{R})$ ?

EDITAR No importa, si los valores propios de $A^{-1}$ son la inversa de $A$ Así que $A \in S_{++} \iff A ^{-1} \in S_{++}$ . Esto responde a mi propia pregunta.

Answer 1

En primer lugar, si una matriz es semidefinida positiva, puede tener valores propios iguales a cero, en cuyo caso es singular.

Si es definida positiva (usando la definición más común, es decir, simétrica y con valores propios positivos) entonces la respuesta es sí ya que los valores propios de $A^{-1}$ son los recíprocos de los valores propios de $A$ .