Distancia mínima desde el origen en $\mathbb{R}^3$ pero el hessiano es indefinido

Question

Problema : Considere el conjunto $M= \lbrace (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2+2y^2-z^2=1 \rbrace$ y encontrar todos los puntos en $M$ que tienen una distancia euclidiana mínima al origen.

Mi enfoque : He definido la función $f(x,y,z):= x^2 + y^2+z^2$ y tratar de minimizar esta función en $M$ . La función $f$ representa la distancia euclidiana al cuadrado, sin embargo está claro que la minimización de esta función en $M$ también minimizará la distancia euclidiana regular.

Definir $g(x,y,z)=x^2+2y^2-z^2-1$ dada por la restricción de $M$ .

Calcular la función de Lagrange: $L=f- \lambda g= (1- \lambda)x^2+ (1-2 \lambda)y^2 + (1 + \lambda)z^2 + \lambda$
Ahora tengo que resolver el conjunto de ecuaciones dadas: \begin{align} \frac{\partial L}{\partial x}&= 2(1-\lambda)x=0 \tag{I} \\ \frac{\partial L}{\partial y}&= 2(1-2\lambda)y=0 \tag{II}\\ \frac{\partial L}{\partial z}&= 2(1+\lambda)z=0 \tag{III} \end{align} Sé que $(x,y,z)\neq(0,0,0)$ porque $(0,0,0) \notin M$ . Lo que significa que $x,y,z$ no pueden desaparecer simultáneamente.

Mis problemas : Consigo resolver el sistema de ecuaciones anterior, pero me encuentro con resultados que no puedo interpretar con éxito. Permítanme demostrarlo: El sistema de ecuaciones anterior parece concederme un poco de libertad.

$\bullet$ Supongamos que $x \neq 0 \implies x= \pm 1$ a causa de la restricción y también $\lambda =1 $ por I . Por lo tanto, también hay que seguir que $y=z=0$ . Así que me dan los puntos $p_0=(1,0,0), p_1=(-1,0,0)$ .

$\bullet$ Supongamos que $y \neq 0 \implies y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ debido a la restricción y $\lambda = 1/2$ por II . Tiene que seguir que $x=z=0$ y consigo dos puntos más $p_3=(0,1/\sqrt{2},0)$ y $p_4=(0,-1/\sqrt{2},0)$

$\bullet$ Supongamos que $z \neq 0 \implies z= \pm i$ ??? Es un resultado bastante impar pero después de pensarlo un poco he llegado a la conclusión de que $z\neq 0 \implies \lambda= -1\implies x=y=0$ nunca puede ser verdadera, debido a la restricción y $(0,0, \pm i) \notin M$

La matriz hessiana : La matriz hessiana de $L$ tendrá el siguiente aspecto $$\text{Hess}_L=\begin{pmatrix} 2(1-\lambda) & 0 & 0 \\ 0 & 2(1-2\lambda) & 0 \\ 0 & 0 & 2(1 + \lambda) \end{pmatrix} $$ Y para todos los puntos que he calculado arriba será indefinido (teniendo al menos un $0$ Valor propio). Así que parece que la matriz hessiana no me da ninguna información. He pensado en intentar hablar del conjunto y demostrar que es compacto, pero no lo consigo.

Parcela : Aquí está la visualización del conjunto $M$ hecho por Mathematica.

Answer 1

Ha encontrado correctamente cuatro estacionario puntos de $f$ en la superficie $M$ Son $(\pm 1,0,0)$ y $(0,\pm 1/\sqrt{2},0)$ .

Que el hessiano de $L$ es indefinido no dice mucho sobre estos puntos estacionarios. Puede que estés pensando en la prueba estándar de la segunda derivada para sin restricciones optimización. Pero usted tiene un restringido problema de optimización, para el que la prueba de la segunda derivada es diferente: implica Hessian con bordes .

Pero no le aconsejo que utilice esta complicada prueba. Si se alcanza el mínimo, se alcanza en un punto estacionario. Por lo tanto, introduzca cada uno de los puntos estacionarios en $f$ y tomar el valor más pequeño.

Y la razón por la que se alcanza el mínimo tiene que ver con la compacidad. Aunque $M$ no es compacto, su intersección con una gran bola cerrada $B$ (digamos de radio $10$ centrado en el origen) es compacto. Por lo tanto, hay un punto de $M\cap B$ a una distancia mínima del origen. Este mismo punto también da la distancia mínima para todos los $M$ porque los puntos de $M\setminus B$ están demasiado lejos: tienen distancia al menos $10$ y, por lo tanto, perder en la competencia a, por ejemplo, $(1,0,0)$ .