Dejemos que $k$ sea un campo, $X_1=X_2=\mathbb{A}^1_k=\operatorname{Spec}(k[x])$ , $P$ el punto correspondiente al ideal máximo $(x)$ , $U_1=U_2=\mathbb{A}^1_k-\left\{P\right\}$ y $\phi:U_1 \rightarrow U_2$ el mapa de identidad. ¿Qué queremos decir con la frase "que $X$ se obtienen pegando $X_1,X_2$ a lo largo de $U_1,U_2$ a través de $\phi$ "? (Ejemplo 2.3.6 página 76 en Hartshorne)
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SvB
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53
Bueno, parece que dedico demasiado tiempo a contestar esto (las respuestas que se han publicado mientras tanto lo cubren todo), pero tampoco me apetece borrar esto.
"Pegar cosas" es una idea muy general que se encuentra en todas las matemáticas, y no estoy seguro de poder hacerle justicia aquí.
Supongamos que empezamos con los espacios topológicos. Entonces, dejemos que $X_1, X_2$ sean espacios topológicos, $U_i \subset X_i$ subconjuntos abiertos, y $\varphi: U_1 \to U_2$ un homeomorfismo. Cuando decimos " $Y$ se obtiene pegando $X_1$ y $X_2$ a lo largo de $\varphi$ ", queremos decir que $Y$ es el cociente del espacio $X_1 \amalg X_2$ (unión disjunta) por la relación de equivalencia que identifica $x \in U_1$ y $\varphi(x) \in U_2$ y nada más.
Es decir, tenemos un mapa cociente $q: X_1 \amalg X_2 \to Y$ y un mapa $f: Y \to Z$ es continua si $fq: X_1 \amalg X_2 \to Z$ es continua. Además, $A \subset Y$ está abierto si $q^{-1}(A)$ es. Estoy seguro de que podemos extender estas observaciones a una propiedad universal que determine $Y$ . Pero usted está preguntando lo que el encolado es y esto lo describe para los espacios topológicos, dejaré que ustedes resuelvan con más detalle por qué esta definición es sensata.
Ahora hagamos lo mismo con los esquemas. $X_i$ son ahora esquemas, y $U_i$ siguen siendo subconjuntos abiertos. Con su estructura de subesquema canónico, se convierten en subesquemas abiertos. Buscamos un esquema $Y$ que se comporta de forma similar al $Y$ que teníamos antes al tratar con espacios topológicos. Pues bien, dejemos que $Y$ como un espacio topológico, sea el cociente topológico. Nótese que $X_i$ son subconjuntos naturalmente abiertos de $Y$ y cubren $Y$ . En cada una de las $X_i$ nos dan gavillas de estructura, y queremos fabricar una gavilla de estructura sobre $Y$ . Pero ahora las gavillas pueden también ¡se pegan! De esta manera obtenemos una gavilla de estructura sobre $Y$ y es fácil ver que el espacio anillado $Y$ construido de esta manera sigue siendo un esquema (espacio localmente anillado localmente isomorfo a un esquema afín). Este es el "esquema obtenido al pegar el $X_i$ y tiene las mismas buenas propiedades que el procedimiento de encolado para los espacios topológicos.
Para iluminar un poco más el encolado de las gavillas: Dejemos que $F$ sea la presheaf $U \mapsto \{(a, b) \in O_{X_1}(U \cap X_1) \oplus O_{X_2}(U \cap X_2) : a_x = \varphi^\#_x(b_x) \text{ for all } x \in U \cap U_1 = U \cap U_2\}.$ Entonces puede comprobar que $F$ es de hecho una gavilla, y de hecho $F = O_Y$ .
¿Qué significa todo esto en su caso? Pues bien, si ordenas el procedimiento de encolado topológico, verás que $Y$ es básicamente la línea afín, sólo que con un punto extra, un "doble origen". El único subconjunto abierto de $Y$ que no es un subconjunto abierto de uno de los $X_i$ es $Y$ en sí mismo. Es un ejercicio fácil que $O_Y(Y) = k[x]$ . Esto describe $Y$ por completo.
Cuando pegamos dos esquemas, creamos un nuevo esquema con una topología casi igual a la de la unión disjunta, excepto que identificamos un par isomorfo de conjuntos abiertos entre los esquemas y los utilizamos para unirlos.
En este ejemplo, estamos pegando dos copias de la línea afín. Puede ser útil utilizar diferentes letras para representar sus anillos de coordenadas, así que $X_1 = \text{Spec }(k[x])$ y $X_2 = \text{Spec }(k[y])$ . Ciertamente son isomorfos tal cual (a través del mapa $k[x] \rightarrow k[y], x \mapsto y$ ), pero nos centraremos en los conjuntos abiertos $U_1 = D(x)$ y $U_2 = D(y)$ que entonces también son isomorfas (a través del mismo mapa).
Cuando pegamos estos dos conjuntos abiertos, utilizamos el isomorfismo para considerarlos como un solo conjunto. Así, con la excepción del origen, nuestro esquema pegado se parece a una línea regular afín. Pero cada esquema $X_1$ y $X_2$ tiene su propio origen, por lo que el esquema pegado tiene ahora dos orígenes. Obtenemos una línea afín con un doble punto en 0, un esquema no separado.
En general, se puede pensar en un esquema proyectivo como un encolado de esquemas afines. El proceso de encolado consiste en construir un esquema desde cero.
Travis
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Formalmente, para pegar dos esquemas $X,Y$ a lo largo de subconjuntos abiertos $U \subset X$ , $V \subset Y$ se especifica un isomorfismo $U \to V$ y pensar que los puntos identificados son los mismos. (también se necesita un isomorfismo en el nivel de las láminas, por supuesto)
Este ejemplo se puede visualizar muy bien . Imagina dos tiras de papel (cada una representando la línea afín $\text{Spec } k[x]$ y pegarlas en todas partes, excepto en un punto. Así que este esquema se parece en todo a la línea afín, pero tiene el punto P duplicado (donde no pegamos los trozos de papel).
