¿Cómo resuelvo $u = e^{-u}$? ¿Hay una solución única?

Question

Necesito resolver esta ecuación y no tengo idea de cómo hacerlo. $$u = e ^ {-u}$$

Answer 1

Has escrito en un comentario que necesitas resolver la ecuación para $u$ $$0.02=0.09\, u\, e^{-u/3}$$ Como se mencionó en las respuestas, la solución se da en términos de la función Lambert $$u=-3 W\left(-\frac{2}{27}\right)$$ lo cual puedes evaluar usando la expansión (alrededor de $u=0$) $$W(u)=u-u^2+\frac{3 u^3}{2}-\frac{8 u^4}{3}+O\left(u^5\right)$$ lo que daría aquí $$u\approx\frac{127946}{531441}\approx 0.240753$$ mientras que la solución exacta sería $\approx 0.240794$.

Si no puedes utilizar la función Lambert, considera el método de Newton para el cero de $$f(u)=0.02-0.09\, u\, e^{-u/3}$$ Comenzando con $u_0=0$, las iteraciones serían $$\left( \begin{array}{cc} n & u_n \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.22222222222222222222 \\ 2 & 0.24067499948243880952 \\ 3 & 0.24079419211830631153 \\ 4 & 0.24079419706077123754 \\ 5 & 0.24079419706077124604 \end{array} \right)$$ que es la solución con veinte cifras significativas.

Tarde o temprano, aprenderás que, mejor que con series de Taylor, las funciones pueden aproximarse utilizando aproximantes de Padé. Construyendo el $[2,2]$ alrededor de $u=0$, deberíamos obtener $$f(u)=\frac{\frac{1}{50}-\frac{77 }{900}u+\frac{7}{675} u^2 } {1+\frac{2 }{9}u+\frac{1}{54} u^2 }$$ Resolviendo el numerador, obtenemos, como aproximación $$u=\frac{3}{56} \left(77-\sqrt{5257}\right)\approx 0.240794$$

Editar

Como escribí en un comentario, para tu ecuación específica, hay una segunda raíz. El numerador del aproximante de Padé $[2,2]$ también se anula si $$u=\frac{3}{56} \left(77+\sqrt{5257}\right)\approx 8.00921$$ Así que, consideremos el caso general de la función $$f(u)=a-b\,u \,e^{-c u}$$ que se puede simplificar a $$g(x)=k - x \, e^{-x} \qquad \text{con}\qquad x=c u \qquad \text{y} \qquad k=\frac {ac}b$$ Calculando las derivadas $$g'(x)=(x-1)\, e^{-x} \qquad \text{y}\qquad g''(x)=(2-x)\, e^{-x}$$ Por lo tanto, la primera derivada se anula en $x_*=1$, para el cual $g(x_*)=k-\frac{1}{e}$ y $g''(x_*)=\frac{1}{e} >0$. Así que $x_*=1$ corresponde a un mínimo de la función.

Luego, si $g(x_*)=k-\frac{1}{e} $ es decir $k <\frac{1}{e}$ habrá dos raíces para la ecuación $g(x)=0$ (si no, ninguna raíz en absoluto).

Construyendo, alrededor de $x=1$, el aproximante de Padé $[2,2]$, deberíamos obtener $$g(x)=\frac{(k+e)+\left(\frac{7 k}{11}-\frac{15 e}{11}\right) (x+1)+\left(\frac{19 k}{132}+\frac{49 e}{132}\right) (x+1)^2} {1+\frac{7 }{11}(x+1)+\frac{19}{132} (x+1)^2 }$$ y las estimaciones de las raíces son $$x_{1,2}=-1+\frac{2 \left(\pm\sqrt{6} \sqrt{-31 k^2-689 e k+68 e^2}-21 k+45 e\right)}{19 k+49 e}$$ Para tu caso específico donde $a=0.02$, $b=0.09$, $c=\frac 13$, $k=\frac 2{27}$ dando $x_1\approx 0.100458$ y $x_2\approx 1.48838$ es decir $u_1\approx 0.301373$ y $u_2=4.46513$.

Para la segunda raíz, las iteraciones de Newton serían $$\left( \begin{array}{cc} n & u_n \\ 0 & 5 \\ 1 & 10.735169983176656878 \\ 2 & 11.811848258039167534 \\ 3 & 11.953645469496448730 \\ 4 & 11.955908552057240037 \\ 5 & 11.955909119858430307 \\ 6 & 11.955909119858466040 \end{array} \right)$$ que es la solución con veinte cifras significativas.