¿Cómo resuelvo $u = e^{-u}$? ¿Hay una solución única?

Question

Necesito resolver esta ecuación y no tengo idea de cómo hacerlo. $$u = e ^ {-u}$$

Answer 1

No existe una solución exacta a este problema en términos que conozcamos, así que simplemente definimos una función para las soluciones de problemas de este tipo (la función Lambert o $W$), y la solución a esta instancia es simplemente $W(1)$.

Su valor es aproximadamente $W(1) \approx 0.5671432904...$, existen numerosas técnicas para aproximar este valor (la más simple de las cuales es graficar las dos funciones).

Sin embargo, la fórmula iterativa $u \rightarrow e^{-u}$ tiene a $W(1)$ como punto fijo atractivo, por lo que puedes empezar con una suposición inicial razonable (digamos $0.5$) y aplicar repetidamente la fórmula para acercarte a $W(1)$:

0.5
0.6065306597126334
0.545239211892605
0.5797030948780683
0.5600646279389019
0.5711721489772151
0.5648629469803235
0.5684380475700662
0.5664094527469209
0.5675596342622424
0.5669072129354714
0.5672771959707785
0.5670673518537281
0.5671863600876382
0.5671188642569858
0.5671571437076446
0.5671354336592732
0.5671477463306249
0.5671407632698067
0.5671447236620769

Answer 2

$u=e^{-u}\Leftrightarrow u-e^{-u}=0$

Sea $f(x)=x-e^{-x}$. Entonces $f'(x)=1+e^{-x}>0$, por lo que la función es monótonamente creciente. Al ser la suma de dos funciones continuas, también es continua. Ahora observe que $f(0)=-1$ y $f(1)=1-\frac{1}{e}>0$. Por lo tanto, por el Teorema del Valor Intermedio, debe existir un $u$ tal que $f(u)=0$ y ese número satisfaría $u=e^{-u}$. Dado que la función es monótonamente creciente, también podemos ver que solo hay un $u$ tal y además que $0

Esto muestra que su ecuación tiene una solución única y real. Sin embargo, no conocemos una expresión "bonita" para ese número, pero podemos expresarlo en términos de la función Lambert W (consulte la respuesta de orlp).

Answer 3

Sea $f(u)=u-e^{-u}$. La derivada es $1+e^{-u}$, que siempre es positiva. Por lo tanto, $f$ es monótona.

Como es continua y $f(0)<0, f(1)>0$, tiene una única raíz, que se encuentra en el intervalo $(0,1)$.

El valor de esta raíz no se puede expresar mediante funciones elementales (necesitas la función de Lambert $W$), así que puedes recurrir a métodos numéricos. Las iteraciones de Newton funcionarán bien.

$$u_{n+1}=u_n-\frac{u_n-e^{-u_n}}{1+e^{-u_n}}=\frac{u_n+1}{e^{u_n}+1}.$$

Una buena aproximación inicial se puede obtener a partir del desarrollo de segundo orden de Taylor del exponencial, lo que lleva a

$$x-\left(1-x+\frac{x^2}2\right)=0$$ y $$u_0\approx 2-\sqrt2=0.58$$

Answer 4

La ecuación dada $u=e^{-u}$ no es resoluble algebraicamente. Pero puedes resolverla numéricamente con el método de Newton:

$f(u)=e^{-u}-u$

$f'(u)=-e^{-u}-1$

Ahora con la fórmula:

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ y algunas iteraciones, nos acercamos a una solución. Primero tenemos que encontrar un $x_0$ para comenzar la iteración. Podemos encontrar uno buscando un cambio de signo al calcular algunos.

f(0)=1, f(1)<0

Por lo tanto, la raíz tiene que estar entre 1 y 0 y podemos elegir $x_0=0.5$ Entonces

$x_1=0.5-\frac{f(0.5)}{f'(0.5)}\approx 0.56631$ $x_2=0.56714$ ...

Lo cual ya está bastante cerca del valor exacto dado por orlp.

Answer 5

Solo hay una solución.

Porque, si se mira la función $f(u)=u-e^{-u}$ entonces $f(1)>0$ y $f(-1)<0$, así que debe llegar a cero en algún punto de $[-1,1]$ porque es continua, por lo que hay una sola.

Debido a que la función aumenta estrictamente, esto muestra que tiene a lo sumo una solución.

Por lo tanto, solo tiene una.