Simple grupo de orden $660$ es isomorfo a un subgrupo de $A_{12}$

Question

Demostrar que la simple grupo de orden $660$ es isomorfo a un subgrupo de la alternancia de grupo de grado $12$.

Me las he arreglado para demostrar que debe ser isomorfo a un subgrupo de $S_{12}$ (a través de un grupo de acción sobre el conjunto de Sylow $11$-de los subgrupos). Cualquier sugerencia se agradece!

Answer 1

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El uso de los teoremas de Sylow, si $G$ es un simple grupo de orden $660=60\times 11$, el número de Sylow-$11$ subgrupos $n_{11}$ ha $n_{11}\equiv 1~\mathrm{mod}~11$, $n_{11}|60$ y $n_{11}\neq1$ por la sencillez, por lo $n_{11}=12$. De nuevo, por la del teorema de Sylow, $G$ actúa transitivamente sobre el $12$-elemento-conjunto de su $11$-Sylows por la conjugación, y así obtenemos un no trivial de morfismos $G\rightarrow S_{12}$. Por la sencillez de $G$, esta es una incrustación.

Ahora aplique la firma de morfismos $\epsilon:S_{12}\rightarrow\lbrace-1,+1\rbrace$: $$G\hookrightarrow S_{12}\rightarrow \lbrace-1,+1\rbrace$$ El núcleo es un subgrupo normal de $G$. Desde $G$ es simple, es $G$ o $1$, y por razones de cardinalidad tiene que ser $G$. Así, la incrustación $G\hookrightarrow S_{12}$ mapas de $G$ a $\mathrm{Ker}(\epsilon)=A_{12}$, e $G$ es isomorfo a un subgrupo de $A_{12}$.

Answer 2

Deje $G$ ser nuestro grupo simple de la orden de $660$, contenida en $S_{12}$. Desde $A_{12}$ es normal en $S_{12}$, el subgrupo $A_{12} \cap G$ es normal en $G$. Desde $G$ es simple y cualquier subgrupo de $S_{12}$ con más de dos elementos contiene incluso una permutación, obtenemos $A_{12} \cap G = G$.

Para generalizar, supongamos $G$ es un simple grupo de con $|G| > 2$. Con la misma idea, como antes, se puede mostrar que si $G$ es isomorfo a un subgrupo $H$$S_n$, $H$ es un subgrupo de $A_n$.