Doble Ángulo o Medio Ángulo para resolver la ecuación desde [0,2pi)

Question

Actualmente estoy tomando una clase de Pre Calc II (Trig) en la universidad. Tengo un problema que no sé cómo resolver y me preguntaba si podría recibir ayuda. He hecho algunos trabajos pero me he atascado. Este es el problema:

Utiliza una fórmula de doble o medio ángulo para resolver la ecuación en el intervalo [0, 2).

$-\sin(2\theta)-\cos(4\theta)=0$

Esto es lo que he hecho:

$-\sin(2\theta)-2\cos^2(2\theta)-1$

$-2\sin(\theta)\cos(\theta)-2\cos^2(2\theta)-1=0$

Después de este punto, no sé cómo continuar, así que tal vez me he equivocado al ampliar una de las identidades.

Gracias de antemano.

Answer 1

Usando la identidad que @rogerl proporcionó que tiene: $$ sin(2\theta) +1-2sin^2(2\theta)=0$$

que cuando se sustituye por $sin(2\theta) = \alpha$ se convierte en una ecuación cuadrática: $$2\alpha^2-\alpha-1=0$$

puedes resolver lo siguiente e igualar los valores de $\alpha$ a $sin(2\theta)$ se obtendrían los resultados deseados, supongo.

Answer 2

SUGERENCIA:

¿Puedes entenderlo a partir de la mano corta?

$$ S_{2t}+ C_{4t} =0 $$ $$ S+1-2S^2=0 \rightarrow \, S= (1,-\frac12)$$ $$S_{2t}=1\rightarrow 2t= \pi/2, 5 \pi/2,... $$ $$ S_{2t}=-\frac12 \rightarrow 2t= 7 \pi/6, 11\pi/6,..$$ explicará si es necesario.

Answer 3

Voy a poner $\phi=\theta$ para mayor comodidad. Así que su ecuación es equivalente a $$\sin2\phi+\sin(π/2-4\phi)=0.$$ Esto se convierte en $$2\sin\frac12\left(2\phi+\fracπ2-4\phi\right)\cos\frac12\left(2\phi-\fracπ2+4\phi\right)=0,$$ o más sencillamente $$\sin\left(\fracπ4-\phi\right)\cos\left(3\phi-\fracπ4\right)=0.$$ Así, tenemos que $$\sin\left(\fracπ4-\phi\right)=0,$$ o que $$\cos\left(3\phi-\fracπ4\right)=0.$$ De ello se desprende que $$\fracπ4-\phi=πj$$ o $$3\phi-\fracπ4=(1+2k)\fracπ2,$$ donde $j,k$ son números enteros arbitrarios. Ahora resuelva para $\phi$ en cada una de estas ecuaciones e imponer las condiciones $$0\le\phi\lt 2π$$ para encontrar sus soluciones.