período fundamental de funcionamiento $f(x)$ es

Question

Si $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ y $f(2+x) = f(2-x)$ y $f(20-x) = f(x)\;\forall x\in \mathbb{R}$ y $f(2)\neq f(6)$

Entonces el período fundamental de la función $f(x)$ es

$\bf{My\; Try::}$ Dado $f(2+x) = f(2-x)\;,$ Ahora reemplaza $x\rightarrow (2-x)\;,$ Obtenemos

$f(4-x)=f(x)$ y dado $f(20-x)=f(x)\;,$ Así que obtenemos $f(4-x)=f(20-x)$

Reemplazar ahora $x\rightarrow (4-x)\;,$ Obtenemos $f(x)=f(x+16)$

Así que el período de funcionamiento $f(x)$ es $=16\;,$ Pero las opciones dadas como

$(a)\;\;\;\; 1\;\;\;\; (b)\;\;\;\; 8$ $(c)\;$ El período no puede ser $1\;\;\;\; (d)\; $ puede ser uno

Se necesita ayuda, Gracias

Answer 1

Dejemos que $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=1$ para $x=16k+2, k\in \mathbb{Z}$ y $f(x)=0$ de lo contrario.

En primer lugar, observemos que esta función es periódica de periodo fundamental 16.

Verifiquemos las condiciones:

1) $f(2+x) = f(2-x)$ Si $2 + x=16k+2$ entonces $2-x=2-16k$ así que $1=1$ (debido a la periodicidad), de lo contrario $0=0$

2) $f(20-x) = f(x)$ Debido a la periodicidad, esto equivale a $f(4-x)=f(x)$ que equivale a 1).

3) $f(2)\neq f(6)$ porque $f(2)=1 \neq f(6)=0$

La conclusión:

(a) falso - porque $f(2)\neq f(6)$

(b) falso - sólo lo demostramos con un contraejemplo

(c) verdadero

(d) falso - porque $f(2)\neq f(6)$

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Tomando $f(x)=sin({\frac \pi 4}x)$ obtenemos un ejemplo de función periódica de periodo fundamental 8, que satisface los requisitos del problema.

Por lo tanto, los requisitos del problema no son lo suficientemente fuertes como para permitirnos determinar el período fundamental.