Monos dividiendo una pila de plátanos

Question

Tres monos inteligentes se reparten un montón de plátanos. El primer mono coge algunos plátanos del montón, se queda con tres cuartas partes y divide el resto a partes iguales entre los otros dos. El segundo mono coge algunos plátanos del montón, se queda con una cuarta parte y divide el resto a partes iguales entre los otros dos. El tercer mono coge los plátanos restantes del montón, se queda con una doceava parte y divide el resto a partes iguales entre los otros dos. Dado que cada mono recibe un número entero de plátanos cada vez que se dividen los plátanos, y que los números de plátanos que tienen el primer, el segundo y el tercer mono al final del proceso están en la proporción 3:2:1, ¿cuál es el menor total posible de plátanos?

Intenté resolver este problema utilizando expresiones algebraicas largas, pero seguí metiendo la pata y no pude encontrar una buena solución. ¿Podrían darme alguna pista sobre una? Gracias.

Answer 1

Dejemos que $A,B,C$ ser el plátano retirado por los monos $1,2,3$ respectivamente y $x$ sea el número de plátanos mono $3$ tiene al final.

Entonces:

$\frac{1}{8}A+\frac{3}{8}B+\frac{1}{12}C=x$

$\frac{1}{8}A+\frac{1}{4}B+\frac{11}{24}C=2x$

$\frac{3}{4}A+\frac{3}{8}B+\frac{11}{24}C=3x$

Resolviendo el sistema obtenemos:

$A=\frac{22}{17}x$

$B=\frac{26}{17}x$

$C=\frac{54}{17}x$ .

Ahora, dejemos que $x=17k$ .

Necesitamos $A=22k$ sea un múltiplo de $8$ y $4$ (por lo tanto $8$ )

Necesitamos $B=26k$ sea un múltiplo de $8$ y $4$ (por lo tanto $8$ )

Necesitamos $C=54k$ sea un múltiplo de $24$ .

Por lo tanto, $k$ debe ser un múltiplo de $4$ .

Así que $x$ debe ser $17\times 4$ .

Por lo tanto, el número de plátanos es $6\times 17\times 4=408$

Y los monos $1,2,3$ tomar $88,104,216$ plátanos cada uno.