Espectro de potencia del campo sobre un país de forma arbitraria

Question

El espectro de potencia de un campo escalar da una indicación del autocorrelación espacial del campo, es decir, el tamaño típico de un parche de valores similares.

El espectro de potencia de un campo o matriz cuadrada o rectangular puede determinarse mediante la Transformación de Fourier o Serie de Fourier .

• ¿Cómo puede el espectro de potencia para un país que no es rectangular?

Por ejemplo, la imagen de Estados Unidos que se muestra a continuación puede codificarse en una matriz en la que todas las celdas que cubren el océano se rellenan con NaN mientras que todas las celdas que cubren la tierra tendrán valores entre 25 y 375.

• ¿Cuál es una buena estrategia para tratar estos grandes parches de NaNs ?
• ¿Puede el país ser mapeado en un rectángulo y seguir proporcionando una buena medida para el espectro de potencia ?
• Podría armónicos esféricos ayuda, señalando que los Estados Unidos son una subsección de una esfera?
• ¿Podría un Transformación Wavelet ¿se aplicará, y cómo?

Answer 1

Para una función determinada $L^2$ función $f$ en el dominio $\Omega$ (su país irregular), se puede definir la descomposición espectral como la expansión en la base del conjunto de funciones propias con la condición de contorno de Dirichlet $\left\{(k, \phi_k)\;\Big|\nabla^2 \phi_k=-k\phi_k, \phi_k\big|_{\partial\Omega}=\begin{cases} f\big|_{\partial\Omega}, &k=0 \\0, &k>0\end{cases}\;\right\}$ . La ecuación de valores propios se llama ecuación de Helmholtz y su problema de valor límite nulo se llama Problema de valores propios de Dirichlet . El conjunto de la función de valores propios es $L^2$ norma completa, formando así una base para la $L^2$ espacio de funciones, y ortogonal que está garantizado por el teorema espectral de los operadores compactos autoadjuntos . En particular, para $k=0$ Este problema es el Ecuación de Laplace Problema de valor límite de Dirichlet con un valor de función dado en la frontera $f\big|_{\partial\Omega}$ . Se puede resolver directamente con el método de la función de Green mediante la integración del potencial de doble capa . Así que puede ampliar cualquier $L^2$ en esta base al igual que en la base de Fourier. La serie de Fourier es pero el mismo problema con $\Omega$ siendo un rectángulo.

Lo bueno de este método es precisamente que la primera $\phi_0$ es esencialmente la media de la frontera y, por tanto, todos los mínimos y máximos locales están en la frontera, mientras que el resto de la base $(\phi_k)_{k>0}$ sólo depende de la geometría de los límites (forma). Por cierto, escuchar la forma de un tambor es un intento de problema inverso desde el valor propio hasta la geometría de la frontera.

Detrás de la solución anterior de este problema se encuentra esencialmente toda la teoría de los operadores elípticos y gran parte del análisis funcional. Uno tiene todas las propiedades de existencia y unicidad para la solución de los problemas de EDP de valores propios anteriores para el límite liso y el valor del límite. Uno puede explorar las propiedades de la solución para, por ejemplo, la frontera fractal y los valores de frontera no diferenciables en ninguna parte.