Ecuaciones en $\mathbb{P}^n$ recortar el conjunto de variedades teóricamente

Question

Este es el ejercicio 3.28.2 de la obra de Kollar Curvas racionales en variedades algebraicas .

Supongamos que $Z\subset \mathbb{P}^n$ es una subvariedad que es puramente $k$ -y de grado $d$ . ¿Por qué una elección general de $f_0,\ldots,f_n\in H^0(\mathbb{P}^n,I_Z(d))$ recortar $Z$ ¿teóricamente?

Editar: Creo que es suficiente para demostrar que todos los $H^0(\mathbb{P}^n,I_Z(d))$ corta $Z$ teóricamente.

Answer 1

Aquí tienes una pista. Proyecto $Z$ a un subespacio lineal de dimensión $k + 1$ . La imagen satisface una ecuación de grado $ = \deg Z$ . Ahora mira todas esas proyecciones.