¿Podríamos encontrar un elemento en un campo finito?

Question

Dejemos que $F$ sea un campo finito. Dado un elemento $a^x$ en $F\setminus\{0\}$ , podríamos encontrar $a$ ?? Sé que encontrar un número entero $x$ es un problema muy difícil (Problema del Logaritmo Discreto). Sin embargo, no sé la dureza de este problema. ¿Cuál es el nombre del problema? Gracias.

Answer 1

Dejemos que $q = |F|$ . Desde $(F^*,\times)$ es un grupo cíclico de orden $q-1$ , básicamente estás preguntando cuándo y cómo podemos dividir por $x$ en $\Bbb Z/(q-1)\Bbb Z$ .

Esto depende en gran medida de $x$ . Si $x$ y $q-1$ no son coprimos, entonces esto es imposible (por ejemplo si $x=q-1$ así $a^x= 1$ para todos $a \in F^*$ así que sabiendo $a^x$ no le da absolutamente ninguna información sobre $a$ ).

Si lo son, entonces $x$ tiene un inverso $y$ modulo $q-1$ y dividiendo por $x$ es lo mismo que multiplicar por $y$ en el contexto de $(F^*,\times)$ esto significa que $a = (a^x)^y$ .

Answer 2

$0^x$ está en el campo por cada $x$ .