$$y\frac{\partial z}{\partial x}-x\frac{\partial z}{\partial y}=0$$ Sistema de EDOs características : $$\frac{\mathrm{d}x}{y} = \frac{\mathrm{d}y}{-x} = \frac{\mathrm{d}z}{0}$$ Tenga cuidado de que no sea $\frac{\mathrm{d}y}{x}$ pero $\frac{\mathrm{d}y}{-x}$
Una primera familia de curvas características proviene de $\frac{\mathrm{d}z}{0}=$ finito $\implies \mathrm{d}z=0 \implies z=c_1$ .
Una segunda familia de curvas características proviene de $\frac{\mathrm{d}x}{y} = -\frac{\mathrm{d}y}{x}\implies x^2+y^2=c_2$ .
La solución general de la EDP expresada en forma de ecuación implícita es : $$\Phi(z\:,\:x^2+y^2)=0$$ donde $\Phi$ es una función arbitraria de dos variables.
O, de forma equivalente, en forma explícita : $$z=F(x^2+y^2)$$ donde $F$ es una función arbitraria.
La función arbitraria debe determinarse según la condición de contorno.
En el enunciado de la pregunta se dice que el límite es una curva cuya ecuación es $x^2+y^2=r^2$ , que es un círculo. Así que el límite está definido, pero la condición no está dada :
Cita : 2. Solución particular si $z$ se especifica a lo largo de un círculo $x^2 + y^2 = r^2$ en el $(x,y)-$ avión.
¿Cuál es exactamente la especificación?
ADEMÁS :
En los comentarios, la condición se especifica como : $z(x,1)=e^x$ con $x>0$ .
Tenga en cuenta que la condición no es a lo largo de un círculo $x^2+y^2=r^2$ pero es a lo largo de la línea recta $y=1$ .
Poniendo esta condición en la solución general se llega a : $$F(x^2+1)=e^x$$ Deja : $\quad X=x^2+1 \quad\to\quad x=\sqrt{X-1}$ $$F(X)=e^{\sqrt{X-1}}$$ Así, la función $F$ se determina. Lo ponemos en la solución general anterior donde $X=x^2+y^2$ . La solución particular que se ajusta a la condición de contorno es : $$z(x,y)=\exp\left(\sqrt{x^2+y^2-1}\right)$$
