ayuda con una prueba vectorial

Question

Dejemos que $\textbf{u}$ y $\textbf{v}$ sean vectores no nulos. Demuestre que cualquier vector bidimensional puede expresarse en la forma $$s \textbf{u} + t \textbf{v},$$ donde $s$ y $t$ son números reales, si y sólo si de los vectores $\textbf{u}$ y $\textbf{v}$ un vector no es un múltiplo escalar del otro vector.

A continuación está mi prueba, pero no estoy seguro de si mi prueba por contradicción tiene sentido y también cómo cuidar la parte "si y sólo si" en el enunciado del problema.

Sabemos que un par de vectores que pueden generar todo el plano son linealmente independientes, así que vamos a intentar demostrar que $s \textbf{u} + t \textbf{v}$ es linealmente independiente. Para que sea linealmente independiente, entonces $s=t=0$ . Si esto fuera linealmente dependiente, al menos uno de $s$ y $t$ no debe ser igual a $0$ .

Supongamos, en aras de la contradicción, que $\textbf{v} = a\textbf{u}$ , donde $a$ es un múltiplo escalar real. Además, dejemos que $\textbf{u} = \dbinom{\textbf{u_1}}{\textbf{u_2}}$ y $\textbf{v} = \dbinom{\textbf{v_1}}{\textbf{v_2}}$ . Entonces $\textbf{v_1} = a\textbf{u_1}$ y $\textbf{v_2} = a\textbf{u_u}$ . Entonces $$\dbinom{s\textbf{u_1} + at\textbf{u_1}}{s\textbf{u_2} + at\textbf{u_2}} =\dbinom{0}{0} .$$ Así que $(s+at)\textbf{u_1} = 0$ y $(s+at)\textbf{u_2} = 0$ . Desde $\textbf{u}$ es un vactor no nulo, esto significa que $s+at =0$ . Sin embargo, debido a que $s,a,t$ son todos números reales, esto no dice necesariamente si $s$ y $t$ debe ser distinto de cero. Por lo tanto, la suposición de que $\textbf{v}$ era un múltiplo escalar de $\textbf{u}$ (y por lo tanto los vectores eran linealmente dependientes) debe ser errónea, y $\textbf{u}$ y $\textbf{v}$ son linealmente independientes.

Answer 1

Parece que tienes un malentendido bastante profundo de lo que es la frase " linealmente independiente " significa. Así que, aquí está la definición:

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial sobre $\mathbb R$ y que $S\subseteq V$ . El conjunto $S$ es linealmente dependiente si existe un conjunto finito no vacío $\{v_1,v_2,\dots v_n\}\subseteq S$ y un conjunto de números reales $\alpha_1,\alpha_2.\dots,\alpha_n$ de manera que no todos los $\alpha_i$ son iguales a $0$ y que $$\alpha_1v_1 + \alpha_2v_2+\cdots + \alpha_n v_n=0.$$

El conjunto $S$ es linealmente independiente si no es linealmente dependiente.

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Así que, para aclarar:

La dependencia lineal es la propiedad de un set de vectores.

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Conociendo esta definición, ahora debería estar claro que la frase que has escrito:

así que vamos a tratar de demostrar que $s \textbf{u} + t \textbf{v}$ es linealmente independiente.

No tiene sentido. Por cada $s$ y $t\in\mathbb R$ , $s\textbf u + \textbf v$ es simplemente un vector, no un conjunto de vectores, y por tanto no se puede hablar de que sea "linealmente independiente". Además, la siguiente frase también tiene muy poco sentido:

Para que esto sea linealmente independiente, entonces $s=t=0$ -

¿Qué? Si $s=t=0$ entonces el vector $s\textbf u + \textbf v$ es igual a $0$ ¿Por qué sería eso "linealmente independiente"?

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Te sugiero que empieces la prueba de nuevo, y abandones todo el concepto de "dependencia lineal" con el que obviamente no estás familiarizado. Recuerda que la afirmación que quieres demostrar es una "afirmación si y sólo si", así que tienes que demostrar dos afirmaciones:

1. Si ninguno de los vectores es un múltiplo escalar del otro, entonces cualquier $2$ -puede expresarse en forma de $s\textbf u + \textbf v$ .
2. Si cualquier $2$ -El vector dimensional puede expresarse en la forma de $s\textbf u + \textbf v$ entonces ninguno de los dos vectores es múltiplo escalar del otro.

Te sugiero que primero pruebes el punto (1) con un enfoque de fuerza bruta. Es decir, que establezcas $v=\begin{bmatrix}{v_1\\v_2}\end{bmatrix}$ y $u=\begin{bmatrix}{u_1\\u_2}\end{bmatrix}$ y establecer $c=\begin{bmatrix}{c_1\\c_2}\end{bmatrix}$ y tratar de encontrar el $s$ y $t$ tal que $su+tv=c$ .

Answer 2

Como escribió 5xum, tienes un malentendido sobre lo que son los vectores linealmente independientes.

Tenemos que demostrar que $\textbf{u}$ es linealmente independiente de $\textbf{v}$ :

Dado que $\textbf{u}\ne a\textbf{v}\iff\textbf{u}-a\textbf{v}\ne0\iff\textbf{u}+b\textbf{v}\ne0$ . Por lo tanto, son linealmente independientes

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Puedes hacer este trabajo sin mostrarte linealmente independiente:

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Suponiendo que el lapso de $\textbf v, \textbf u$ es $\Bbb R$ es decir, cualquier vector bidimensional puede ser expresado utilizando esos $2$ .

Vamos $\textbf u=a\textbf v$ ,

Así que $c\textbf u+b\textbf v=c\textbf u+ab\textbf u=\begin{bmatrix}abcu_1\\abcu_2\end{bmatrix}\ne\begin{bmatrix}u_1+1\\u_2\end{bmatrix}$ (¿Por qué?)

Por lo tanto, $\textbf u\ne a\textbf v$

Suponiendo que $\textbf u\ne a\textbf v$ ,

Si es así tengo $a\textbf u+b\textbf v=\hat e_x$ y $c\textbf u+d\textbf v=\hat e_y$ , $\hat e_{y,x}$ son la base estándar. De esas a vector puedo tener cualquier vector así $p\hat e_x+q\hat e_y=p(a\textbf u+b\textbf v)+q(c\textbf u+d\textbf v)=(pa+qc)\textbf u+(pb+qd)\textbf v=\textbf x$ para cualquier vector arbitrario $\textbf x$ .

Y hecho