Ayuda con una demostración vectorial

Question

Permite que $\textbf{u}$ y $\textbf{v}$ sean vectores no nulos. Muestra que cualquier vector bidimensional puede expresarse en la forma $$s \textbf{u} + t \textbf{v},$$ donde $s$ y $t$ son números reales, si y solo si de los vectores $\textbf{u}$ y $\textbf{v}$, uno no es un múltiplo escalar del otro.

A continuación está mi demostración, pero no estoy seguro si mi prueba por contradicción tiene sentido y también cómo abordar la parte de "si y solo si" en la declaración del problema.

Sabemos que un par de vectores que pueden generar el plano entero son linealmente independientes, así que intentemos demostrar que $s \textbf{u} + t \textbf{v}$ es linealmente independiente. Para que esto sea linealmente independiente, entonces $s=t=0$. Si esto fuera linealmente dependiente, al menos uno de los valores de $s$ y $t$ no debe ser igual a $0$.

Supongamos por el bien de la contradicción que $\textbf{v} = a\textbf{u}$, donde $a$ es un múltiplo escalar real. Además, sea $\textbf{u} = \dbinom{\textbf{u_1}}{\textbf{u_2}}$ y $\textbf{v} = \dbinom{\textbf{v_1}}{\textbf{v_2}}$. Entonces $\textbf{v_1} = a\textbf{u_1}$ y $\textbf{v_2} = a\textbf{u_u}$. Luego $$\dbinom{s\textbf{u_1} + at\textbf{u_1}}{s\textbf{u_2} + at\textbf{u_2}} =\dbinom{0}{0} .$$ Por lo tanto, $(s+at)\textbf{u_1} = 0$ y $(s+at)\textbf{u_2} = 0$. Dado que $\textbf{u}$ es un vector no nulo, esto significa que $s+at = 0$. Sin embargo, debido a que $s,a,t$ son todos números reales, esto no necesariamente dice si $s$ y $t$ deben ser distintos de cero. Por lo tanto, la suposición de que $\textbf{v}$ era un múltiplo escalar de $\textbf{u}$ (y por lo tanto los vectores eran linealmente dependientes) debe ser incorrecta, y $\textbf{u}$ y $\textbf{v}$ son linealmente independientes.

Answer 1

Parece que tienes un malentendido bastante profundo de lo que significa la frase "linealmente independiente". Así que, aquí está la definición:

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb R$, y sea $S\subseteq V$. El conjunto $S$ es linealmente dependiente si existe un conjunto finito no vacío $\{v_1,v_2,\dots v_n\}\subseteq S$ y un conjunto de números reales $\alpha_1,\alpha_2.\dots,\alpha_n$ tal que no todos los $\alpha_i$ son iguales a $0$ y que $$\alpha_1v_1 + \alpha_2v_2+\cdots + \alpha_n v_n=0.$$

El conjunto $S$ es linealmente independiente si no es linealmente dependiente.

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Entonces, para aclarar:

La dependencia lineal es la propiedad de un conjunto de vectores.

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Conociendo esta definición, ahora debería quedar claro que la oración que escribiste:

así que intentemos mostrar que $s \textbf{u} + t \textbf{v}$ es linealmente independiente.

No tiene sentido. Para cada $s$ y $t\in\mathbb R$, $s\textbf u + \textbf v$ es simplemente un vector, no un conjunto de vectores, y por lo tanto no se puede hablar de que sea "linealmente independiente". Además, la siguiente oración también tiene muy poco sentido:

Para que esto sea linealmente independiente, entonces $s=t=0$ -

¿qué? Si $s=t=0$, entonces el vector $s\textbf u + \textbf v$ es igual a $0$, ¿por qué sería eso "linealmente independiente"?

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Te sugiero que empieces la demostración de nuevo y deseches todo el concepto de "dependencia lineal" con el que obviamente no estás familiarizado. Recuerda, la afirmación que quieres demostrar es una "si y solo si", así que necesitas probar dos afirmaciones:

1. Si ninguno de los vectores es un múltiplo escalar del otro, entonces cualquier vector de $2$ dimensiones se puede expresar en la forma de $s\textbf u + \textbf v$.
2. Si cualquier vector de $2$ dimensiones se puede expresar en la forma de $s\textbf u + \textbf v$, entonces ninguno de los vectores es un múltiplo escalar del otro.

Te sugiero que primero pruebes el punto (1) con un enfoque bastante directo. Es decir, estableces $v=\begin{bmatrix}{v_1\\v_2}\end{bmatrix}$ y $u=\begin{bmatrix}{u_1\\u_2}\end{bmatrix}$ y estableces $c=\begin{bmatrix}{c_1\\c_2}\end{bmatrix}$ e intentas encontrar los valores de $s$ y $t$ tales que $su+tv=c$.

Answer 2

Como escribió 5xum, tienes un malentendido sobre lo que son vectores linealmente independientes.

Necesitamos mostrar que $\textbf{u}$ es linealmente independiente de $\textbf{v}$:

Dado que $\textbf{u}\ne a\textbf{v}\iff\textbf{u}-a\textbf{v}\ne0\iff\textbf{u}+b\textbf{v}\ne0$. Por lo tanto, son linealmente independientes

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Puedes hacer este trabajo sin mostrar que son linealmente independientes:

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Suponiendo que el espacio generado por $\textbf{v}, \textbf{u}$ es $\Bbb R$, es decir, cualquier vector bidimensional se puede expresar usando esos $2$.

Tomemos $\textbf{u}=a\textbf{v}$,

Entonces $c\textbf{u}+b\textbf{v}=c\textbf{u}+ab\textbf{u}=\begin{bmatrix}abcu_1\\abcu_2\end{bmatrix}\ne\begin{bmatrix}u_1+1\\u_2\end{bmatrix}$ (¿por qué ?)

Por lo tanto $\textbf{u}\ne a\textbf{v}$

Suponiendo que $\textbf{u}\ne a\textbf{v}$,

Si es así, tengo $a\textbf{u}+b\textbf{v}=\hat e_x$ y $c\textbf{u}+d\textbf{v}=\hat e_y$, $\hat e_{y,x}$ son la base estándar. Con esos dos vectores puedo obtener cualquier vector, entonces $p\hat e_x+q\hat e_y=p(a\textbf{u}+b\textbf{v})+q(c\textbf{u}+d\textbf{v})=(pa+qc)\textbf{u}+(pb+qd)\textbf{v}=\textbf{x}$ para cualquier vector arbitrario $\textbf{x}$.

Y listo