¿Cómo es $\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} = \frac{1}{r} - \vec{r} \cdot \triangledown \frac{1}{r} + \ldots$ ¿una ampliación de Taylor?

Question

De la página 112 de Electrodinámica sin sentido el autor utiliza la expansión de Taylor multivariable para afirmar:

En caso de que importe, el autor también está asumiendo que $|\vec{r}| \gg | \vec{r}'|$ (se indica en otra parte del texto). También, $\vec{r}, \vec{r}'$ son ambos vectores tridimensionales.

Pregunta: ¿Cómo se desprende esta identidad de Taylor? Según Wikipedia

Una expansión en serie de Taylor de segundo orden de una función de valor escalar de más de una variable puede escribirse de forma compacta como

$$T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + (\mathbf{x} - \mathbf{a})^\mathsf{T} D f(\mathbf{a}) + \cdots$$

donde $D$ en este contexto denota el gradiente $\triangledown$ operador. Si introducimos esto en nuestro contexto obtenemos

$$ f(\mathbf{a}) + (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T Df(\mathbf{a}) = \frac{1}{r} + ( \vec{r} - \vec{r}') \cdot \triangledown \frac{1}{| \vec{r} - \vec{r}' |} $$

que obviamente no se parece a la fórmula que el autor derivó, a menos que me esté perdiendo algo.

Answer 1

SUGERENCIA:

Podemos escribir el término de interés como

$$\begin{align} \frac1{|\vec r-\vec r'|}&=\frac{1}{\sqrt{|\vec r|^2+|\vec r'|^2-2\vec r'\cdot\vec r}}\\\\ &=\frac1{|\vec r|}\left(1-2\frac{\vec r'\cdot\vec r}{|\vec r|^2}+\left(\frac{|\vec r'|}{|\vec r|}\right)^2\right)^{-1/2} \end{align}$$

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Ahora, aplicando el teorema del binomio (que es un caso especial del Teorema de Taylor) se obtiene

$$\begin{align} \frac1{|\vec r-\vec r'|}&=\frac1{|\vec r|}\left(1+\frac{\vec r'\cdot\vec r}{|\vec r|^2}+O\left(\frac{|\vec r'|^2}{|\vec r|^2}\right)\right)\\\\ &=\frac1{|\vec r|}+\vec r'\cdot \frac{\vec r}{|\vec r|^3}+O\left(\frac{|\vec r'|^2}{|\vec r|^3}\right) \end{align}$$

y vemos que la ecuación $(4.30)$ en el PO es incorrecto por un factor de $-1$ en el segundo término de la expansión. De hecho, $(4.30)$ es inconsistente con la ecuación que la precede ya que $\nabla \frac1r=-\frac{\vec r}{|\vec r|^3}$ y no $\nabla \frac1r=+\frac{\vec r}{|\vec r|^3}$

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NOTA:

Aplicación del Teorema de Taylor a la función $\frac1{|\vec r-\vec r'|}$ que conducen a la expresión escrita en el PO es $o(|\vec r-\vec r'|)$ y no conduce, por tanto, a una expansión útil cuando $|\vec r|>>|\vec r'|$ .

En su lugar, hemos utilizado el Teorema de Taylor (que también es la aplicación del teorema del binomio en este caso) para expandir el término $\displaystyle \left(1-2\frac{\vec r'\cdot\vec r}{|\vec r|^2}+\left(\frac{|\vec r'|}{|\vec r|}\right)^2\right)^{-1/2}$ .