Pregunta relacionada con la función Gamma

Question

Estoy tratando de demostrar que para $p,q>0$, tenemos $$\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}\,dt=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}.$$ The hint given suggests that we express $\Gamma(p)\Gamma(p)$ como una integral doble, a continuación, hacer un cambio de variables, pero he sido incapaz hasta el momento de expresar como una integral doble.

Puede alguien ayudarme a comenzar o sugerir un enfoque alternativo?

Nota: Este no era dado a mí como el $\Gamma$ función, así como una función de $f$ satisfactorio $$f(p)=\int_0^\infty e^{-t}t^{p-1}\,dt$$ for all $p>0$, pero me di cuenta de que. Esto es en el contexto de un cálculo avanzado de examen de práctica.

Answer 1

De hecho, uno puede comenzar a partir de la integral doble $$ \Gamma(p)\cdot\Gamma(q)=\int_0^\infty \mathrm e^{-x}x^{p-1}\,\mathrm dx\cdot\int_0^\infty \mathrm e^{-y}y^{p-1}\,\mathrm dy=\iint_{[0,+\infty)^2} \mathrm e^{-x-y}x^{p-1}y^{p-1}\,\mathrm dx\,\mathrm dy. $$ El cambio de variable $x=ts$, $y=(1-t)s$, con $0\leqslant t\leqslant1$$s\geqslant0$, cuyo Jacobiano es $\mathrm dx\,\mathrm dy=s\,\mathrm ds\,\mathrm dt$, los rendimientos de los $$ \Gamma(p)\cdot\Gamma(q)=\int_0^{+\infty}\int_0^1\mathrm e^{-s}t^{p-1}^{p-1}(1-t)^{p-1}^{p-1}\,\mathrm ds\,\mathrm dt. $$ Finalmente, $$\Gamma(p)\cdot\Gamma(q)=\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-s s}^{p+q-1}\,\mathrm ds\cdot\int_0^1^{p-1}(1-t)^{p-1}\,\mathrm dt=\Gamma(p+q)\cdot\int_0^1^{p-1}(1-t)^{p-1}\,\mathrm dt, $$ y esto es todo. La última integral anterior se llama la beta número $\mathrm B(p,q)$.