¿Cuál es la integral de tiempo del movimiento para ecuaciones diferenciales de primer orden?

Question

Para una ecuación diferencial de segundo orden (muchos sistemas físicos) en una variable, conozco "procedimientos" para calcular la energía. Dado $$q''(t)=f(q(t),q'(t)),\ \ q(0)=q_0,\ \ q'(0)=v_0,$$ si tenemos suerte, podemos encontrar el Lagrangiano relacionado $L$, introducir $p=\frac{\partial L}{\partial q}$, hacer una transformada de Legendre y obtenemos la función Hamiltoniana $H(q,p)$ para la cual $\frac{\text d}{\text dt}H(q(t),p(t))=0$ para las soluciones de la ecuación diferencial.

Podemos ser más precisos y dar todas las condiciones para que el teorema de Noether se cumpla y el resultado es que a lo largo del flujo $X(t)=\langle q(t),p(t)\rangle$ en el espacio de fase dado por una solución con condiciones iniciales $X(0)$, la función $H(q,p)$ siempre toma los mismos valores. Define superficies en el espacio de fase indexadas por condiciones iniciales $X(0)$.

Me pregunto cómo ver esto para sistemas de primer orden a priori $$q'(t)=f(q(t)),\ \ q(0)=q_0,$$ donde creo que esto debe ser aún más simple. Por ejemplo, creo que alguna funcional $$q(t)\mapsto q(t)-\text{una integral sobre}\ f(q(t))\ \text{algo},$$ debe existir que será constante para las soluciones de la ecuación, es decir, solo dependerá de $q_0$. Para cada $f$, la dependencia funcional de esta "energía" en "$q_0$" será diferente.

Sin embargo, no logro encontrar una relación general. ¿Cuál es la teoría detrás de esto, hay alguna especie de integral de tiempo energético? ¿Cuál es la dependencia funcional en la condición inicial, para una constante de movimiento adecuada para sistemas de primer orden? Y cuál sería la interpretación, dado que hablamos de una situación con solo una condición inicial?

Si el sistema está tan restringido que no hay una interpretación geométrica significativa, entonces pensemos en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Esto es como el que generamos a partir del espacio de fase, excepto que no proviene realmente de una situación de segundo orden y por lo tanto las condiciones iniciales no son realmente, por ejemplo, posición inicial y velocidad. Estoy bastante seguro de que hay situaciones donde se considera un flujo directamente generado (la ecuación puede ser más complicada que el flujo exponencial $\dot x\propto x$), pero no recuerdo ninguna discusión sobre una constante de movimiento asociada al tiempo en estos sistemas, o cómo interpretarla.

Answer 1

Suponiendo que el sistema de primer orden es hamiltoniano, para un grado de libertad, podemos construir el hamiltoniano integrando el par de edes utilizando la relación:

$ q'= \frac{\partial H}{\partial p}\qquad p'= -\frac{\partial H}{\partial q} $

Los sistemas de orden superior tienen la misma estructura "simplectica" y las integrales podrían no tener formas cerradas. Por lo tanto, tendríamos:

$ \frac{\partial H}{\partial p} = f(q),\quad p'=??$

Las cosas parecen volverse ambiguas en notación. El punto es que debemos ver las variables como pares conjugados al trabajar en la formulación hamiltoniana de la mecánica. Como respuesta definitiva a la pregunta inicial, si supiéramos que el sistema era hamiltoniano, podríamos en principio integrar las relaciones anteriores para generar el "hamiltoniano". Además, la energía y el tiempo se consideran conjugados en este marco. ¿Puedo sugerir el corchete de Poisson como punto de partida?

Answer 2

Considera el sistema de EDO autónomo

$$ \dot{x} = f(x) $$

Tienes una primera integral de movimiento si existe una función $K$ tal que $K(x(t))=const$. Por lo tanto,

$$ d K/dt = \dot{x} \cdot \nabla K = f(x)\cdot \nabla K =0 $$

Esto te dice que el campo $f$ que define el movimiento debe ser ortogonal a la dirección que define el conjunto de niveles de $K$ (es decir, las trayectorias están en los conjuntos de nivel de $K$).

Entonces, el problema es encontrar $K$ (si existe), pero este $K$ no tiene (en general) nada que ver con el "concepto de Hamiltoniano":

• Punto trivial: incluso en el caso de que tengas un número par de componentes de $x$, no está garantizado que puedas ver algunas de ellas como $q$ y otras como $p$ y recuperar la formulación Hamiltoniana.

• El Hamiltoniano no es solo una constante de movimiento: define completamente el movimiento.

• La conservación de la energía es una desventaja de la estructura simpléctica. Si eliminas esta estructura, deberías esperar perder el hecho de que tu "intento de Hamiltoniano" esté conservado.

• Dados los puntos anteriores y hablando en términos amplios: el Hamiltoniano tiene "más que ver" con $f$ que con $K$.

Puede ser interesante observar lo que sucede en el "caso simpléctico" y en el caso general cuando divides formalmente las variables como $x = (q,p)$.

En el caso "simpléctico" el campo $f$ se puede escribir en términos de una sola función $H$, un auténtico Hamiltoniano, y el sistema de EDO es

$$ \dot{q} = \nabla_p H \qquad \quad \dot{p} = -\nabla_q H $$

Esto te dice inmediatamente que

$$ d/dt = \dot{x}\nabla = \dot{q} \nabla_q + \dot{p} \nabla_p = (\nabla_p H ) \nabla_q - (\nabla_q H )\nabla_p $$

por lo que $\dot{H}=0$ y el Hamiltoniano es automáticamente una constante de movimiento.

Ahora considera un caso no necesariamente simpléctico con un número par de variables $x$ que divides formalmente en $x=(q,p)$:

$$ \dot{q} = A(q,p) \qquad \qquad \dot{p} = B(q,p) $$

Este sistema es demasiado genérico y no se puede decir nada. Sin embargo, el punto de la mecánica es que la dinámica del sistema estará determinada por una función en la variedad llamada "Hamiltoniano". Entonces podemos "reducir" el concepto de Hamiltoniano genuino de la teoría simpléctica al no simpléctico pidiendo que

"queremos convertir una función suave $H$ en un campo vectorial $f=(A,B)$ ... entonces la dinámica consiste en el flujo a lo largo de las curvas integrales de $f$, es decir, $\dot{x}=(A,B)$."

Una manera natural de convertir una función en un campo es considerar $\nabla_x H$, por lo que podemos imponer $$ \dot{q} = A(q,p) = \nabla_q H \qquad \qquad \dot{p} = B(q,p) = \nabla_p H $$

Pero ahora $H$ no se conserva: ¡las "partículas" se deslizan a lo largo de los conjuntos de nivel de $H$!

Al final, la conservación de $H$ es realmente una desventaja de la estructura simpléctica: una especie de "rotación de 90 grados" marca la diferencia,

$$ (\dot{q} , \dot{p}) = (\nabla_q H , \nabla_p H) \qquad VS \qquad (\dot{q} , \dot{p}) = (\nabla_p H , -\nabla_q H) = Rot_{90} (\nabla_q H , \nabla_p H) $$ No es sorprendente: en dos dimensiones, $Rot_{90}$ es realmente una rotación genuina de 90 grados, y esta rotación convierte el gradiente de $H$ de tal manera que es paralelo a los conjuntos de nivel de $H$: por lo tanto, $H$ es una constante de movimiento.