Desigualdad isoperimétrica en la curvatura seccional negativa

Question

Dejemos que $M$ sea una variedad riemanniana completa, no compacta y simplemente conectada de dimensión $n$ cuyas curvaturas seccionales están limitadas por encima de $\kappa<0$ . Quiero demostrar que para cualquier subconjunto abierto $\Omega\subset M$ cuyo cierre en $M$ es compacto, se cumple la siguiente desigualdad: $$\frac{Vol(\Omega)}{Vol(\partial \Omega)}\leq \frac{1}{(n-1)\sqrt{-\kappa}}$$

La constante de la derecha da un límite inferior para el primer valor propio de Dirichlet del operador de Laplace. Si la métrica en $M$ viene dada por $ds^2=g_{ij}dx^idx^j$ entonces $$\Delta=\frac{1}{\sqrt{\det g}}\sum_{i,j} \frac{\partial}{\partial x^i}\left(\sqrt{\det g} g_{ij} \frac{\partial}{\partial x^j}\right)$$ Si $0<\lambda_1<\lambda2<\cdots$ son los valores propios de Dirichlet de $-\Delta$ por un teorema de Mckean tenemos una desigualdad $$\lambda_1(M)\geq \frac{1}{4}(n-1)^2k$$ para una variedad riemanniana que satisface las condiciones anteriores.

¿Existe una forma de relacionar el primer valor propio con el cociente de volúmenes para demostrar la desigualdad isoperimétrica anterior o todo esto es una estrategia equivocada?

Gracias de antemano por cualquier idea.

Answer 1

No sé si hay una forma de obtener la desigualdad isoperimétrica a partir de la brecha espectral, pero ambas se pueden demostrar casi de la misma manera. Las referencias clásicas para la desigualdad isoperimétrica lineal son S.-T. Yau, "Isoperimetric constants and the first eigenvalue of a compact Riemannian manifold", Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 8 (1975), no. 4, 487-507 y Yurii D. Burago y Victor A. Zalgaller, "Geometric inequalities".

Me gusta esta demostración, así que la expongo aquí (es la presentación de Burago-Zalgaller). Para cualquier vector tangente unitario $u$ y real positivo $r$ , dejemos que $s(u,r)$ sea la "función vela" definida por $$dy = s(u,r) \,du \,dr$$ cuando $y=\exp_x(ru)$ y $u\in UT_xM$ . Hasta una normalización, esto es simplemente el jacobiano del mapa exponencial. La hipótesis de la curvatura implica $(\log s(u,r))'\geqslant \sqrt{-\kappa}(n-1)$ donde el primo denota la derivada con respecto a $r$ (esto es una consecuencia de La desigualdad de Günther ).

$\Omega$ está contenida en la unión de todos los rayos geodésicos desde cualquier punto fijo $x_0$ a $\partial \Omega$ . Sea $U\subset UT_{x_0}M$ sea el conjunto de vectores unitarios que generan geodésicas que intersecan $\Omega$ y para $u\in U$ dejar $r_u$ sea el último tiempo de intersección de la geodésica generada por $u$ con $\Omega$ . Entonces
$$\mathrm{Vol}(\partial \Omega) \geqslant \int_U s(u,r_u) \,du$$ y $$\mathrm{Vol}(\Omega) \leqslant \int_U \int_0^{r_u} s(u,t) \,dt\,du.$$

Ahora, escribiendo $s(u,r_u)=\int_0^{r_u} s'(u,t) \,dt$ y utilizando la desigualdad de Günther, se llega al resultado deseado.

No puedo evitar la autopublicidad: de hecho, las mismas conclusiones (la desigualdad de Günther, y de ahí tanto la desigualdad isoperimétrica lineal como la brecha espectral de MCKean) se mantienen bajo un límite de curvatura más débil (una curvatura seccional más alta pero no positiva puede compensarse con una curvatura seccional suficientemente más negativa en otras direcciones). Esto se explica en un artículo arXiv con Greg Kuperberg, "A refinement of Günther's candle inequality" [ arXiv:1204.3943 ].

Answer 2

Benoit dio una buena respuesta en el sentido de que revisó la pregunta para que pueda tener una buena respuesta. En lugar de intentar derivar una desigualdad isoperimétrica a partir de la desigualdad de McKean, lo natural es demostrar ambas a partir de una desigualdad logarítmica de vela, la propiedad que se discute en nuestro nuevo trabajo. Pero supongamos que todavía se quiere demostrar una desigualdad isoperimétrica sólo a partir de la desigualdad de McKean. Entonces no creo que sea posible, porque creo que hay variedades con una gran brecha espectral, pero que tienen dominios con mucho volumen y muy poco límite.

Supongamos que se tiene una hiperbólica $n$ -disco $D$ con radio $\epsilon$ y la curvatura negativa extrema $\kappa \ll 0$ . Entonces puedes pegar dos copias de $D$ a lo largo de su frontera, es decir, la construcción del doble. Esto ya es una variedad riemanniana con al menos una métrica continua; también se puede suavizar la métrica en una pequeña vecindad del círculo común para hacerla $C^\infty$ . Si envía $|\kappa|$ al infinito primero, antes de enviar $\epsilon$ a 0, entonces parece que esta superficie tiene una gran brecha de valores propios. Como es una esfera topológica, tiene un disco grande en su interior con frontera pequeña, es decir, el complemento de un disco pequeño. También se puede tomar una suma conectada con este colector y otro colector, conectando en un disco pequeño.

De acuerdo, este tipo de ejemplo no está curvado positivamente. Así que una pregunta que queda es, si $M$ es de curvatura no positiva, ¿entonces la desigualdad de McKean implica una desigualdad isoperimétrica lineal como se ha dicho anteriormente? No sé la respuesta a eso; podría ser una buena pregunta. Pero si la intención de la pregunta original era cómo demostrar la desigualdad isoperimétrica existente de $K < \kappa$ manifiestos, más que si se puede demostrar una nueva desigualdad isoperimétrica, entonces no veo mucha posibilidad de que la desigualdad de McKean conduzca a simplificaciones.

He aquí un hecho posiblemente relacionado: existe grupos susceptibles de crecimiento exponencial . La no amenidad y el crecimiento exponencial son otras dos propiedades que se parecen a las que aquí se discuten, y resulta que no son equivalentes.