Tienes que robar 10 cartas. Cuál es la probabilidad de que saques al menos una carta repetida?

Question

Supongamos que tienes 52 cartas en una baraja, y tienes que robar 10 cartas. Suponiendo que tienes que devolver la carta después de cada extracción, ¿cuál es la probabilidad de que saques al menos una carta repetida?

Esto es lo que estaba pensando...

• Sorteo 1: $\frac{52}{52}$ ya que se permite que la primera carta sea cualquier carta.

• Sorteo 2: $\frac{1}{52}$ ya que quieres intentar sacar la primera carta.

  ...

• Sorteo 9: $\frac{8}{52}$ ya que quieres intentar robar una de las últimas 8 cartas.

• Sorteo 10: $\frac{9}{52}$ ya que quieres intentar robar una de las últimas 9 cartas.

Así que $\frac{52}{52} \times \frac{1}{52} \times ... \times \frac{8}{52} \times \frac{9}{52} = 1.31 \times 10^{-10}$ o $0\%$ posibilidad de conseguir al menos una repetición.

¿Es esta la respuesta correcta?

Answer 1

Este problema es probablemente mucho más fácil de hacer complementariamente. Está claro que hay 52**10 maneras de robar 10 cartas con reemplazo.

¿De cuántas maneras podemos sacar todas las cartas diferentes? ¡Bien, saco una carta, y ahora me veo obligado a sacar otra carta diferente, por lo que acabo obteniendo Perm(52, 10) o 52*51*50*...*43, o ¡52!/(52 - 10)!

Esto me da (52! /42!)/52^10 = 4312477756125/10859007357952 es aproximadamente 0,3971336986862793520483901866510110830481351380244977807237. Así que quita eso de 1 para obtener aproximadamente 0,61 o algo así como tu probabilidad de que saques al menos una repetición.