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¿Cuál es el significado de $X^{2}$ ?

¿Pueden informarme del significado de $X^{2}$ donde X es una variable aleatoria? (Por favor, dame un ejemplo en la vida real y explica el significado de $X^{2}$ ?)

7voto

5xum Puntos 41561

Si $X$ es una variable aleatoria, entonces es un mapeo desde algún espacio de probabilidad a $\mathbb R$ es decir $$X:\Omega\to \mathbb R$$

$X^2$ es entonces también un mapeo de $\Omega$ a $\mathbb R$ y es la composición de $X$ y la función $$f:\mathbb R\to\mathbb R\\ f: x\mapsto x^2$$

5voto

heropup Puntos 29437

He aquí un ejemplo sencillo. Supongamos que te doy un dado inusual de seis caras. No está cargado, así que cualquiera de las seis caras tiene la misma probabilidad de salir, pero las caras están numeradas $$1, 1, 1, 2, 2, 3.$$ Así, para cualquier tirada del dado, se asigna la variable aleatoria $X$ al resultado que observas. Entonces dirías $$\begin{align*} \Pr[X = 1] &= \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \\ \Pr[X = 2] &= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \\ \Pr[X = 3] &= \frac{1}{6}. \end{align*}$$

Pero ¿y si no te interesara el valor numérico de la tirada, sino el cuadrado del valor rodado? Lo primero que notaría es que el soporte de $X$ es el conjunto $\{1, 2, 3\}$ es decir, los únicos resultados posibles que se pueden obtener de una sola tirada son $\{1, 2, 3\}$ . Pero el apoyo de $X^2$ es $\{1, 4, 9\}$ porque si $X = 1$ entonces $X^2 = 1$ y si $X = 2$ entonces $X^2 = 4$ y si $X = 3$ entonces $X^2 = 9$ . Y porque conocemos el valor de $X^2$ cuando sabemos $X$ mismo, es intuitivamente obvio que $$\begin{align*} \Pr[X^2 = 1] &= \Pr[X = 1] = \frac{1}{2}, \\ \Pr[X^2 = 4] &= \Pr[X = 2] = \frac{1}{3}, \\ \Pr[X^2 = 9] &= \Pr[X = 3] = \frac{1}{6}. \end{align*}$$ En esta situación, se trata de una variable aleatoria discreta $X$ con soporte finito, y resulta que la relación entre $X$ y $X^2$ es uno a uno: es decir, $X^2$ se determina de forma única a partir de $X$ sino también.., $X$ se determina de forma única a partir de $X^2$ . Así, por ejemplo, si tiras el dado y me dices que el cuadrado del valor que has obtenido es $X^2 = 9$ Te diría que debes haber visto $X = 3$ .

Pero ahora suponga que le doy un dado diferente, y aunque también está descargado, los números de sus caras son $$-1, -1, 1, 1, 2, 2.$$ Entonces dejas que $Y$ sea la variable aleatoria para el valor que se obtiene al lanzar este dado; se diría $$\begin{align*} \Pr[Y = -1] &= \frac{1}{3}, \\ \Pr[Y = 1] &= \frac{1}{3}, \\ \Pr[Y = 2] &= \frac{1}{3}. \end{align*}$$ Pero porque $(-1)^2 = 1^2 = 1$ El apoyo de $Y^2$ es sólo $\{1, 4\}$ . Usted diría $$\begin{align*} \Pr[Y^2 = 1] &= \Pr[Y = 1] + \Pr[Y = -1] = \frac{2}{3}, \\ \Pr[Y^2 = 4] &= \Pr[Y = 2] = \frac{1}{3}. \end{align*}$$ En este caso, si tiras el dado y sólo me dices que $Y^2 = 1$ No sería capaz de decir si el valor que sacó era $1$ o $-1$ porque ambos resultados darían el mismo valor al cuadrado.

Cuando tratamos con variables aleatorias continuas, u otras transformaciones de las variables aleatorias además de la cuadratura, la idea básica es muy parecida a la del ejemplo de valores discretos anterior. Para una variable aleatoria general $X$ siguiendo alguna distribución de probabilidad paramétrica, y alguna función $f$ que está bien definida en el soporte de $X$ la expresión $f(X)$ es también una variable aleatoria, cuyo soporte es la imagen del soporte de $X$ en $f$ . Por ejemplo, si el soporte es $$X \in \{ x \in \mathbb R : -1 \le x \le 1 \},$$ y $f(x) = 3x + 5$ entonces $$f(X) \in \{y \in \mathbb R : 2 \le y \le 8\}.$$

3voto

jball Puntos 14152

Significa lo mismo de siempre, cuadrado. Un ejemplo sería la altura de una persona en pies. Si $X=6$ entonces $X^2=36$ .

3voto

Michael Hoppe Puntos 5673

Si $X$ es la longitud del lado de una baldosa cuadrática, entonces $X^2$ es su área. Atención: el área media no es el cuadrado de la longitud media de los lados.

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