Calcule la probabilidad de que $ | \bar{X} - \mu | > S$

Question

Dado $X_1, \ldots, X_n$ de $\mathcal{N} (\mu, \sigma^2)$ .

Tengo que calcular la probabilidad: $$P\left(|\bar{X} - \mu| > S\right)$$ donde $\bar{X}$ es la media de la muestra y $S^2$ es la varianza de la muestra.

Intenté expandirme: $$P\left(\bar{X}^2 + \mu^2 - \bar{X}\mu > \frac{1}{n}\sum {X_i}^2 + \frac{1}{n}\sum\bar{X} - 2\left(\frac{1}{n}\sum X_i\right) \bar{X} \right) $$ $$P\left( \mu^2 - \bar{X}\mu > \frac{1}{n}\sum {X_i}^2 - 2\bar{X}^2 \right) $$

pero no parece ser útil.

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

La media empírica y la varianza empírica de las muestras normales i.i.d. son independientes y siguen distribuciones conocidas, que son respectivamente la normal y la chi-cuadrada. Esto indica que $$ \mathrm P\left(|\bar X-\mu|\gt S\right)=\mathrm P\left((n-1)Z_1^2\gt n(Z_2^2+\cdots+Z_n^2)\right), $$ donde $(Z_k)_{1\leqslant k\leqslant n}$ es i.i.d. y normal. Más sencillamente, esto es $\mathrm P(|T_{n-1}|\gt 1)$ donde la distribución de $T_{n-1}$ es el Estudiante $t$ -distribución con $n-1$ grados de libertad. Por lo tanto, $$ \mathrm P\left(|\bar X-\mu|\gt S\right)=\mathrm P\left(|T_{n-1}|\gt1\right)=I_{\frac{n-1}n}\left(\frac{n-1}2,\frac12\right), $$ donde $I$ denota la función beta incompleta regularizada. Los casos $n=2$ , $3$ , $4$ y $\infty$ son algo explícito .

Editar: Recordemos que la media empírica $\bar X$ y la varianza empírica $S^2$ de la muestra $(X_k)_{1\leqslant k\leqslant n}$ se definen como $$ \bar X=\frac1n\sum\limits_{k=1}^nX_k,\qquad\qquad S^2=\frac1{n-1}\sum\limits_{k=1}^n(X_k-\bar X)^2. $$

Answer 2

$$ \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1) $$ $$ \frac{\bar X - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim T_{n-1} $$ donde $T_k$ es la distribución t de Student con $k$ grados de libertad.

Así que $$ \Pr\left(\left|\frac{\bar X - \mu}{S}\right| > 1\right) = \Pr\left(\left|\frac{\bar X - \mu}{S/\sqrt{n}}\right| > \sqrt{n}\right) = \Pr(|T|>\sqrt{n}) $$ donde la distribución de $T$ es la distribución t de Student con $n-1$ grados de libertad.

No conozco ninguna expresión clara para esto. Para cualquier valor particular de $n$ Puede obtener un número a partir de un software estándar.